Enunciado

Encontre a altura e o raio de um cone com altura inclinada L cujo volume é o maior possível.

Passo 1

Então pessoal, vamos chamar a altura do cone de h , o raio de r e a altura inclinada de L , assim como o enunciado propõe mesmo, tudo jóia? Show! O volume de um cone desse tipo é:

V = 1 3 π r 2 h

Para facilitar nossa visualização, temos o seguinte:

E do triângulo retângulo formando por h , r e L temos:

h 2 + r 2 = L 2

Isolando r 2 , teremos:

r 2 = L 2 - h 2

Substituindo na expressão do volume:

V = 1 3 π L 2 - h 2 h

V = 1 3 π L 2 h - h 3

Show! Como r e h são nossas variáveis, então tivemos que realizar essas substituição para eliminar uma das variáveis, ok? Então vamos continuar!

Passo 2

Como queremos o volume máximo, então vamos utilizar os conceitos do cálculo e derivar essa nossa função aí, saca só:

d V d h = 1 3 π L 2 - 3 h 2

Igualando a zero:

1 3 π L 2 - 3 h 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

L 2 - 3 h 2 = 0

h 2 = L 2 3

∴ h = L 3

Aqui vale ressaltar que não pegamos a raíz negativa porque não trabalhamos com coordenadas negativas na geometria, pois não faria muito sentido, não é mesmo?

Passo 3

Agora que encontramos h , para encontrarmos r é de boas, basta substituirmos na nossa expressão de r 2 do passo 1, se liga:

r 2 = L 2 - h 2

r 2 = L 2 - L 2 3

r 2 = 2 L 2 3

∴ r = 2 3 L

E esses são os valores de h e r para que o cone tenha volume máximo! 😊

Resposta

h = L 3

r = 2 3 L

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