Enunciado

Um motorista de caminhão autônomo cobra de um cliente $ 15 por hora dirigida, acrescido do custo do combustível. Dirigindo a uma velocidade de v quilômetros por hora, o caminhão consegue fazer 10 - 0,07 v km por litro de combustível. Se o combustível custa $ 1,50 por litro, qual é a velocidade v que minimiza o custo para o cliente?

Passo 1

Então pessoal, a princípio existem dois custos para o cliente. O primeiro custo está relacionado com a quantidade de horas dirigidas pelo motorista de caminhão autônomo. Já o segundo custo está associado à quantidade de quilômetros que o motorista faz por litro de combustível. Para o primeiro custo temos o seguinte:

C 1 = 15 v

Para o segundo custo temos que:

C 2 = 1,5 10 - 0,07 v

Então a expressão de custo total é:

C = C 1 + C 2

C = 15 v + 1,5 10 - 0,07 v

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Passo 2

Como queremos o custo mínimo para o cliente, vamos ver para que valor de v isso ocorre utilizando os conceitos de cálculo, se liga:

d C d v = - 15 v 2 - 1,5 10 - 0,07 v - 2 . - 0,07

d C d v = - 15 v 2 + 0,105 10 - 0,07 v 2

Igualando isso a zero, teremos:

15 v 2 = 0,105 10 - 0,07 v 2

0,105 v 2 = 15 . 10 2 - 2.10.0,07 v + 0,07 v 2

0,105 v 2 = 15 . 100 - 1,4 v + 0,0049 v 2

0,105 v 2 = 1500 - 21 v + 0,0735 v 2

0,0315 v 2 + 21 v - 1500 = 0

Calculando as raízes dessa equação tiramos que:

v ≈ 65   k m / h

E essa é a velocidade v que minimiza o custo para o cliente!

Resposta

v ≈ 65   k m / h

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