Enunciado

Um carro está se movendo com velocidade de 20 m / s e aceleração de 2 m / s 2 em um dado instante. Usando um polinômio de Taylor de grau 2 , estime a distância que o carro percorre no próximo segundo. Seria razoável utilizar esse polinômio para estimar a distância percorrida durante o próximo minuto?

Passo 1

Para calcular a posição s , vamos dizer que ela é uma função do tempo

s = s ( t )

Sabemos que a derivada da posição é a velocidade v t = s ' ( t ) e que a segunda derivada é a aceleração a t = s ' ' ( t ) . Se considerarmos a posição inicial como 0 , então s 0 = 0 , o enunciado nos dá que v 0 = 20 e a 0 = 2 , então podemos estimar a posição como um polinômio de Taylor

s t ≈ s 0 + v 0 t + a 0 2 ! t 2

s t ≈ 20 t + t 2

Como a velocidade está em m / s e a aceleração em m / s 2 o tempo tem que estar em segundos.

Passo 2

Agora que temos o polinômio, após um segundo, sua posição é

s 1 ≈ 20 + 1

s 1 ≈ 2 1 m

Como a posição inicial é 0 , a distancia percorrida foi aproximadamente 21 m .

Passo 3

Para calcular a distancia em um minuto o polinômio de segundo grau não seria muito efetivo, porque o ponto ( t = 60 s ) é muito distante do centro do polinômio, então não seria razoável.

Resposta

21 m

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