Enunciado

Em cada um dos problemas de 34 a 37, construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando t → ∞ . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.

Todas as soluções têm limite 3 quando t → ∞ .

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos tentar supor equações diferenciais para cada condição dada e depois resolve-lás usando o melhor método que pensarmos. Vamos resolver!!

Passo 2

Queremos que nossa equação tenda a 3 quando t → ∞ . Ou seja, queremos que g t = 3 . Assim, vamos supor a seguinte equação diferencial:

y ' + y = 3

Resolvendo ela pelo fator integrante, temos que

μ t = e ∫ p t d t = e t

Multiplicando de ambos os lados da nossa equação por μ t , chegaremos em:

e t ⋅ y ' + y = 3 ⋅ e t

e t ⋅ y ' = 3 ⋅ e t

Integrando de ambos os lados, temos que:

e t ⋅ y = 3 ⋅ e t + C

y = 3 + C ⋅ e - t

Quando t → ∞ , teremos que y = 3

Resposta

y ' + y = 3

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