Enunciado

Centroide de uma região infinita: encontre o centroide de uma região infinita no primeiro quadrante delimitada pelos eixos e pela curva y = e x .   (Utilize integrais improprias nas formula de massa)

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Da função y = e x nós sabemos que os intervalo de x é o intervalo aberto de menos infinito até 0, Assim, temos:

Por exemplo para a massa do centroide:

M = ∫ - ∞ 0 ∫ 0 e x d y   d x

Passo 2

M = ∫ - ∞ 0 y 0 e x   d x

∫ - ∞ 0 e x   d x

lim b → - ∞ ⁡ ∫ b 0 e x   d x

lim b → - ∞ ⁡ e x b 0

1 - lim b →   - ∞ ⁡ e b = 1

Para M y :

M y = ∫ - ∞ 0 ∫ 0 e x x   d y   d x

∫ - ∞ 0 x e x   d x

Usando das tcnmicas das integrais ∫ f d g = f g - ∫ g   d f , façamos de e x d x = d g e x = f

x e x - ∫ - ∞ 0 e x d x

x e x - e x - ∞ 0

l i m b →   - ∞   x e x - e x b 0

- 1 - lim b →   - ∞ ⁡ x e x - e x

M y = - 1

E para M x :

M x = ∫ - ∞ 0 ∫ 0 e x y   d y   d x

∫ - ∞ 0 1 2 y 2 0 e x   d x

1 2 ∫ - ∞ 0 e 2 x   d x

Usando que ∫ e a x d x = 1 a e a x + C

1 2 1 2 e 2 x - ∞ 0

1 4 lim b →   - ∞ ⁡ e 2 x b 0

1 4 ( 1 - lim b → - ∞ ⁡ e 2 x )  

M x = 1 4

Passo 3

E sabendo que:

x c e n t = M y M

y c e n t = M x M

Logo:

x c e n t = - 1 1 = - 1

y c e n t = 1 4

Resposta

x c e n t = - 1

y c e n t = 1 4

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