Enunciado

Uma cerca de 8 pés de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de 4 pés do edifício. Qual o comprimento da menor escada que vai atingir do chão, por cima da cerca, à parede do prédio?

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa problema de otimização.

Vamos fazer um desenho do problema, para entender melhor:

Devemos tentar representar o comprimento l da escada em função do ângulo θ de inclinação dela. Então tentamos minimizar essa função, para 0 < θ < π / 2 .

Passo 2

O comprimento l se relaciona com θ da seguinte maneira:

4 + x l = cos ⁡ θ

Para eliminar a variável x e ficarmos com l só em função de θ , usamos o triângulo menor:

tg ⁡ θ = 8 x ⇒ x = 8 tg ⁡ θ

Então:

4 + 8 / tg ⁡ θ l = cos ⁡ θ

⇒ l = 4 cos ⁡ θ + 8 tg ⁡ θ cos ⁡ θ

= 4 cos ⁡ θ + 8 sen ⁡ θ

⇒ l θ = 4 sec ⁡ θ + 8 csc ⁡ θ

Passo 3

Agora temos o comprimento da escada em função do ângulo. Teremos um ponto crítico quando a derivada for zero ou não existir. Derivamos a função:

l ' θ = 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 8 csc ⁡ θ c t g   θ

A função existe para todo θ ∈ ( 0 , π / 2 ) , então devemos ter l ' = 0 :

4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ - 8 csc ⁡ θ c t g   θ = 0

⇒ 4 sec ⁡ θ tg ⁡ θ = 8 csc ⁡ θ c t g   θ

⇒ 4 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 8 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ

⇒ sen 3 ⁡ θ cos 3 ⁡ θ = 8 4

⇒ tg 3 ⁡ θ = 2

⇒ θ = arctg ⁡ 2 3

Para afirmar que temos para esse valor de θ o mínimo absoluto da função, podemos dizer que é uma função contínua no intervalo ( 0 , π / 2 ) e esse é o único ponto crítico dela, sendo que nos extremos, θ → 0 e θ → π / 2 , a função l ( θ ) tende a mais infinito. Logo, se a função é contínua e infinita nos extremos, o único ponto crítico dela deve ser o mínimo absoluto.

Passo 4

Agora devemos calcular o comprimento para esse ângulo θ . Temos:

l θ = 4 sec ⁡ θ + 8 csc ⁡ θ

Sabemos a tangente do ângulo, e queremos encontrar a secante e a cossecante. Como 0 < θ < π / 2 Fazemos isso desenhando um triângulo retângulo que tem o ângulo θ :

A hipotenusa h é encontrada por Pitágoras:

h = 1 + 2 3 2 = 1 + 4 3

Então achamos sec ⁡ θ e csc ⁡ θ :

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = h 1 = 1 + 4 3

csc ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ = h 2 3 = 1 + 4 3 2 3

Finalmente:

l = 4 1 + 4 3 + 8 1 + 4 3 2 3

l = 4 1 + 2 2 3 1 + 4 3

l = 4 ( 1 + 4 3 ) 1 + 4 3

⇒ l = 4 1 + 4 3 3 / 2   p é s

Resposta

4 1 + 4 3 3 / 2   p é s

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