Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.7 - Ex. 34
Uma cerca de 8 pés de altura corre paralela a um edifício alto, a uma distância de 4 pés do edifício. Qual o comprimento da menor escada que vai atingir do chão, por cima da cerca, à parede do prédio?
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa problema de otimização.
Vamos fazer um desenho do problema, para entender melhor:
Devemos tentar representar o comprimento da escada em função do ângulo de inclinação dela. Então tentamos minimizar essa função, para .
Passo 2
O comprimento se relaciona com da seguinte maneira:
Para eliminar a variável e ficarmos com só em função de , usamos o triângulo menor:
Então:
Passo 3
Agora temos o comprimento da escada em função do ângulo. Teremos um ponto crítico quando a derivada for zero ou não existir. Derivamos a função:
A função existe para todo , então devemos ter :
Para afirmar que temos para esse valor de o mínimo absoluto da função, podemos dizer que é uma função contínua no intervalo e esse é o único ponto crítico dela, sendo que nos extremos, e , a função tende a mais infinito. Logo, se a função é contínua e infinita nos extremos, o único ponto crítico dela deve ser o mínimo absoluto.
Passo 4
Agora devemos calcular o comprimento para esse ângulo . Temos:
Sabemos a tangente do ângulo, e queremos encontrar a secante e a cossecante. Como Fazemos isso desenhando um triângulo retângulo que tem o ângulo :
A hipotenusa é encontrada por Pitágoras:
Então achamos e :
Finalmente: