Enunciado

Uma certa substância radioativa decai exponencialmente sendo que, após 100 anos, ainda restam 60 % da quantidade inicial.

a) Obter o modelo de decaimento exponencial para esta substância.

b) Determinar a sua meia-vida.

c) Determinar o tempo necessário para que reste somente 15 % de uma dada massa inicial.

Passo 1

a) Então pessoal, de acordo com o capítulo 2 da Diva, temos que o modelo de decaimento exponencial de uma substância é dado pela seguinte equação:

M t = M o e - k t

No qual:

M t = massa presente num instante de tempo qualquer;

M o = massa inicial;

k = constante qualquer;

t = tempo.

Passo 2

O enunciado não nos fala nada sobre a meia vida da substância, pessoal, mas ainda sim nos diz que após 100 anos ainda restam 60 % da quantidade inicial, sendo assim, podemos escrever a seguinte relação:

M 100 = 0,6 M o

Substituindo na expressão do decaimento, obteremos:

0,6 M o = M o e - 100 k

Simplificando:

0,6 = e - 100 k

Aplicando l n em ambos os lados da equação:

ln ⁡ e - 100 k = ln ⁡ 0,6

- 100 k = ln ⁡ 0,6 ln ⁡ e ⇒ k = - 0,511 - 100

k ≅ 0,00511

Logo, agora que achamos k , podemos reescrever nossa equação como:

M t = M o . e - 0,00511 t

Passo 3

b) A meia-vida de uma substância é o tempo em que a substância demora para sua quantidade diminuir pela metade, ou seja, para:

M = M o 2

Se substituirmos esse valor de M na nossa expressão, teremos:

M o 2 = M o . e - 0,00511 t

0,5 = e - 0,00511 t

Aplicando l n   em ambos os lados da equação:

ln ⁡ e - 0,00511 t = ln ⁡ 0,5

- 0,00511 t = ln ⁡ 0,5 ln ⁡ e

∴ t = - 0,693 - 0,00511 ≅ 135,65   a n o s

O tempo para a massa inicial da substância cair pela metade é, aproximadamente, 135 anos!

Passo 4

c) O que precisamos descobrir aqui é o tempo necessário para que isso ocorra:

M = 15 % M o = 0,15 M o

Sendo assim, basta substituirmos esse valor de M na nossa equaçãozinha e isolar t , assim como fizemos nos passos anteriores, saca só:

0,15 M o = M o . e - 0,00511 t

e - 0,00511 t = 0,15

Aplicando l n em ambos os lados:

ln ⁡ e - 0,00511 t = ln ⁡ 0 , 15

- 0,00511 t = ln ⁡ 0 , 1 5 ln ⁡ e

∴ t = - 1,897 - 0,00511 ≅ 371,4   a n o s

Portanto, a conclusão que chegamos é que otempo necessário para que reste somente 15 % de uma dada massa inicial é, aproximadamente, 371,4 anos.

Resposta

a) M t = M o . e - 0,00511 t

b) t ≅ 135,65   a n o s

c) t ≅ 371,4   a n o s

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