Enunciado

Os cientistas podem determinar a idade de objetos antigos pelo método de datação por carbono radioativo. O bombardeamento da parte superior da atmosfera por raios cósmicos converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono ( 14 C ) , com meia-vida de cerva de 5730 anos. A vegetação absorve o dióxido de carbono através da atmosfera e a vida animal assimila   14C através da cadeia alimentar. Quando uma planta ou animal morre, para de repor seu carbono e a quantidade de 14C começa a decrescer por decaimento radioativo. Portanto o nível de radioatividade também deve decrescer exponencialmente. Foi descoberto que um fragmento de pergaminho tinha cerca de 74 % de 14C do que os materiais das plantas têm atualmente na terra. Estime a idade do papiro.

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😁

O tempo de meia-vida em questão é a cada 5730 anos, isso significa que a cada 5730 anos a massa ( m t com t em anos) do elemento é reduzida pela metade. Se a massa inicial do elemento é m 0 . Como a taxa de decaimento relativa é sempre constante, podemos relacionar massa do 14C com uma equação exponencial do tipo: y t = y 0 e k t

Veja só! 😊

Passo 2

Neste caso, y t = m t , y 0 = m 0 , t é o tempo em anos e k é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.

Sabemos que quando t = 5730 anos a massa remanescente da amostra é a metade da massa inicial, ou seja, m 5730   = m 0 2 . Logo, podemos aplicar na equação exponencial:

y t = y 0 e k t

m t = m 0 e k t

m 5730   30 = m 0 e k × 5730  

m 0 2 = m 0 e k × 5730  

e k × 5730 = 1 2 ⇒ ln ⁡ e k × 5730 = ln ⁡ 1 2

k × 5730 = ln ⁡ 1 2

k = ln ⁡ 1 2 5730 = - ln ⁡ 2 5730

Logo, a função para a massa remanescente depois de t anos é:

  m t = m ( 0 ) e - ln ⁡ 2 5730 t

Ou, simplificando:

m t = m ( 0 ) 2 t 5730

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Se queremos o tempo em que o material decaiu para 74 % de sua quantidade original, correspondente à sua idade então queremos o t em anos em que m t = 0,74 × m ( 0 ) , então:

m t = 0,74 × m ( 0 ) = m ( 0 ) 2 t 5730

0,74 = 1 2 t 5730

2 t 5730 = 1 0,74 ⇒ ln ⁡ 2 t 5730 = ln ⁡ 1 0,74

t 5730 = ln ⁡ 1 0,74 ln ⁡ 2

t = 5730 × ln ⁡ 1 0,74 ln ⁡ 2 = 2489,128182

Logo, o papiro tem aproximadamente 2489 anos.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

O papiro tem aproximadamente 2489 anos.

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