Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 56
Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é
Em que é a massa de repouso da partícula, é seu comprimento de onda e é a constante de Planck. Esboce o gráfico de como uma função de . O que o gráfico nos diz sobre a energia?
Passo 1
Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar um gráfico de para ver como a energia de uma partícula se comporta em função do seu comprimento de onda. Para isso, iremos utilizar os conceitos desse capítulo para concluirmos sobre o gráfico a respeito do comportamento da partícula.
Passo 2
Primeiramente, vamos encontrar as assíntotas da função. Podemos reescrever da seguinte forma
Pois e são constantes e não são funções de . Fazendo o limite
Podemos ver que é uma assíntota vertical do gráfico. Fazendo o limite
Podemos ver que é uma assíntota horizontal do gráfico.
Passo 3
Vamos agora verificar o intervalo de crescimento e decrescimento da curva fazendo a primeira derivada da função. Derivando , temos
Como pelo sinal de , então nossa função está decrescendo em .
Vamos agora tirar a segunda derivada da função para encontrar a concavidade da função em . Derivando , temos
Como é positiva, então nossa função possui concavidade para cima . Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão na função.
Resposta
Podemos concluir pelo gráfico que conforme diminui, a energia aumenta e conforme aumenta, a energia diminui.