Enunciado

Na teoria da relatividade, a energia de uma partícula é

E = m 0 2 c 4 + h 2 c 2 / γ 2

Em que m 0 é a massa de repouso da partícula, γ é seu comprimento de onda e h é a constante de Planck. Esboce o gráfico de E como uma função de γ . O que o gráfico nos diz sobre a energia?

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar um gráfico de E para ver como a energia de uma partícula se comporta em função do seu comprimento de onda. Para isso, iremos utilizar os conceitos desse capítulo para concluirmos sobre o gráfico a respeito do comportamento da partícula.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as assíntotas da função. Podemos reescrever E da seguinte forma

E = a + b / γ 2 = a γ 2 + b γ   o n d e   a = m 0 2 c 4   e   b = h 2 c 2

Pois a e b são constantes e não são funções de γ . Fazendo o limite

lim γ → 0 + ⁡ a γ 2 + b γ = ∞

Podemos ver que γ = 0 é uma assíntota vertical do gráfico. Fazendo o limite

lim γ → ∞ ⁡ a γ 2 + b γ = a

Podemos ver que E = a é uma assíntota horizontal do gráfico.

Passo 3

Vamos agora verificar o intervalo de crescimento e decrescimento da curva fazendo a primeira derivada da função. Derivando E , temos

E ' = γ 1 2 a γ 2 + b - 1 / 2 2 a γ + a γ 2 + b 1 / 2 ( 2 γ ) γ 2 a γ 2 + b 2 = - b γ 2 a γ 2 + b

Como E ' < 0 pelo sinal de b , então nossa função E está decrescendo em [ 0 ,   ∞ ] .

Vamos agora tirar a segunda derivada da função para encontrar a concavidade da função em [ 0 ,   ∞ ] . Derivando E ' , temos

E ' ' = b γ 2 1 2 a γ 2 + b - 1 / 2 2 a γ + a γ 2 + b 1 / 2 ( 2 γ ) γ 2 a γ 2 + b 2 = b ( 3 a γ 2 + 2 b ) γ 3 a γ 2 + b 3 / 2

Como E ' ' é positiva, então nossa função possui concavidade para cima [ 0 ,   ∞ ] . Não há pontos de máximo ou mínimo local nem pontos de inflexão na função.

Resposta

Podemos concluir pelo gráfico que conforme γ diminui, a energia aumenta e conforme γ aumenta, a energia diminui.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x 5 - 5 x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = 1 5 x 5 - 8 3 x 3 + 16 x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = 4 - x 2 5
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x 2 - 4 x 2 - 2 x
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva: y = x - x 2 2 - 3 x + x 2