Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 80
O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sanguíneos (artérias, arteríolas, capilares e veias) que transportam o sangue do coração para os órgãos e de volta para o coração. Esse sistema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue. Em particular, essa energia é reduzida quando a resistência do sangue diminui. Uma das Leis de Poiseuille dá a resistência do sangue como
onde é o comprimento do vaso sanguíneo; o raio; e é uma constante positiva determinada pela viscosidade do sangue. (Poiseuille estabeleceu essa lei experimentalmente, mas também seguiu a Equação 8.4.2.) A figura mostra um vaso sanguíneo principal de raio ramificado em um ângulo em um vaso menor de raio
- Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total do sangue ao longo do caminho é
- Demonstre que essa resistência é minimizada quando
- Encontre o ângulo ótimo de ramificação (com precisão de um grau) quando o raio do vaso sanguíneo menor é do raio do vaso maior.
onde e são as distâncias mostradas na figura.
Passo 1
- Criaremos um ponto para que o comprimento possa ser chamado de . Pela figura, conseguimos fazer:
- Minimizando a resistência:
E também:
Igualando as duas equações temos:
A resistência total é:
Passo 2
Passo 2
(c ) Quando , nós temos , então,
Resposta
(c )