Enunciado

O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sanguíneos (artérias, arteríolas, capilares e veias) que transportam o sangue do coração para os órgãos e de volta para o coração. Esse sistema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue. Em particular, essa energia é reduzida quando a resistência do sangue diminui. Uma das Leis de Poiseuille dá a resistência R do sangue como

R = C L r 4

onde L é o comprimento do vaso sanguíneo; r , o raio; e C é uma constante positiva determinada pela viscosidade do sangue. (Poiseuille estabeleceu essa lei experimentalmente, mas também seguiu a Equação 8.4.2.) A figura mostra um vaso sanguíneo principal de raio r 1 ramificado em um ângulo θ em um vaso menor de raio r 2 .

  1. Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total do sangue ao longo do caminho A B C   é
  2. R = C   a - b cot ⁡ θ r 1 4 + b cossec ⁡ θ r 2 4

    onde a e b são as distâncias mostradas na figura.

  3. Demonstre que essa resistência é minimizada quando cos ⁡ θ = r 2 4 r 1 4 .
  4. Encontre o ângulo ótimo de ramificação (com precisão de um grau) quando o raio do vaso sanguíneo menor é 2 / 3 do raio do vaso maior.

Passo 1

  1. Criaremos um ponto D para que o comprimento a possa ser chamado de | A D | . Pela figura, conseguimos fazer:
  2. se n ⁡ θ = b B C   → B C = b c os s e c ⁡ θ

    E também:

    cos ⁡ θ = B D B C = a - A B B C

    B C = a - A B sec ⁡ θ

    Igualando as duas equações temos:

    b c os s e c ⁡ θ = a - A B sec ⁡ θ

    b cot ⁡ θ = a - A B

    A B = a - b cot ⁡ θ

    A resistência total é:

    R θ = C A B r 1 4 + C B C r 2 4 = C a - b cot ⁡ θ r 1 4 + b c os s e c ⁡ θ r 2 4

    Passo 2

  3. Minimizando a resistência:

R ' θ = C b c os s e c 2 ⁡ θ r 1 4 - b c os s e c ⁡ θ cot ⁡ θ r 2 4 = b C c os s e c ⁡ θ c os s e c ⁡ θ r 1 4 - cot ⁡ θ r 2 4 = 0

c os s e c ⁡ θ r 1 4 = cot ⁡ θ r 2 4

r 2 4 r 1 4 = cot ⁡ θ c os s e c ⁡ θ = cos ⁡ θ

Passo 2

(c ) Quando r 2 = 2 3 r 1 , nós temos cos ⁡ θ = 2 3 4 , então, θ = cos - 1 ⁡ 2 3 4 ≈ 79 °

Resposta

(c ) 79 ° .

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