Enunciado

Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência x 2 + y 2 = 16 , um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   y = 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t . Faça o gráfico da epicicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.

Passo 1

Vamos chamar a curva descrita no enunciado de K , traçando o gráfico temos

Para calcular a área, podemos usar uma das equações

A = ∮ K x   d y = - ∮ K y   d x = 1 2 ∮ K x   d y - y   d x

Usando a primeira temos

A = ∮ K x   d y = ∮ 0 2 π 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t d d t 5 sen ⁡ t - sen ⁡ 5 t d t

= ∮ 0 2 π 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t d t

= ∮ 0 2 π 25 cos 2 ⁡ t - 25 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 cos 2 ⁡ 5 t d t

= ∮ 0 2 π 25 1 + cos ⁡ 2 t 2 - 30 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 1 + cos ⁡ 10 t 2 d t

Passo 2

A única integral que vai dar problema agora é no termo central, então calculando por partes temos

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

Usando

f = cos ⁡ 5 t → f ' = - 5 sen ⁡ 5 t

g ' = cos ⁡ t → g = sen ⁡ t

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 ∫ sen ⁡ t sen ⁡ 5 t d t

Aplicando partes na segunda integral

f = sen ⁡ 5 t → f ' = 5 cos ⁡ 5 t

g ' = sen ⁡ t → g = - cos ⁡ t

∫ sen ⁡ t sen ⁡ 5 t d t = - cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 5 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

Substituindo

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 25 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

- 24 ∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t

∫ cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t - 24

Passo 3

Então temos que

∮ 0 2 π 25 1 + cos ⁡ 2 t 2 - 30 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 1 + cos ⁡ 10 t 2 d t

= 25 t 2 + sen ⁡ 2 t 4 + 30 24 sen ⁡ t cos ⁡ 5 t - 5 cos ⁡ t sen ⁡ 5 t + 5 t 2 + sen ⁡ 10 t 20 0 2 π

Todos os termos que tem sin ⁡ n t = 0 quando t = 0 ou t = 2 π , então nos sobra

= 30 t 2 0 2 π = 30 π

Resposta

30 π

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Verifique a relação do exercício anterior supondo B o quadrado de vértices - 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1,1 e - 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário.
Verifique que ∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y Onde B é o triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 ; γ é a fronteira de B orientada no sentido anti-horário, P x , y = x 2 - y e Q x , y =
Seja B o triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 1,1 ; γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Verifique que ∫ γ P d x + Q d y = ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d xd y Onde P e Q são supostas de classe
2 ) Calcule a área da região limitada pela curva x = t - sen t, y = 1 - cos t, 0≤ t ≤ 2π, e pelo eixo 0x
5) Calcule ∮ γ Fd γ onde F x , y = 4 x 3 y 3 i + 3 x 4 y 2 + 5 x j e γ é a fronteira do quadradro de vértices (-1,0), (0,-1), (1,0),(0,1)