Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 20
Se uma circunferência de raio rola ao longo do interior da circunferência , um ponto fixo de descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas . Faça o gráfico da epicicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.
Passo 1
Vamos chamar a curva descrita no enunciado de , traçando o gráfico temos
Para calcular a área, podemos usar uma das equações
Usando a primeira temos
Passo 2
A única integral que vai dar problema agora é no termo central, então calculando por partes temos
Usando
Aplicando partes na segunda integral
Substituindo
Passo 3
Então temos que
Todos os termos que tem quando ou , então nos sobra
Resposta
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