Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^2 \* (x-y)^2 = x^2 - y^2

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x 2 x - y 2 ' = [ x 2 - y 2 ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

x 2 ' x - y 2 + x 2 x - y 2 ' = x 2 ' - y 2 '

2 x x - y 2 + x 2 x - y 2 ' = 2 x - 2 y ⋅ d y d x

Precisamos agora calcular a derivada de x - y 2 . E como faremos agora? Basta aplicar a regra

da cadeia!

Passo 3

Vejamos separadamente como aplicar a regra da cadeia. Temos então:

x - y 2 ' = 2 x - y ⋅ [ x - y ] '

A derivada da função de fora u 2 aplicada a função de dentro ( x - y ) vezes a derivada da função de dentro. Exatamente como sempre fizemos! Continuando o cálculo, temos:

x - y 2 ' = 2 x - y ⋅ 1 - d y d x

x - y 2 ' = 2 x - y - 2 ( x - y ) d y d x

Passo 4

Continuando o cálculo da nossa derivada, temos:

2 x x - y 2 + x 2 x - y 2 ' = 2 x - 2 y ⋅ d y d x

2 x x - y 2 + x 2 2 x - y - 2 x - y d y d x = 2 x - 2 y ⋅ d y d x

2 x x 2 - 2 x y + y 2 + 2 x 3 - 2 x 2 y - 2 x 2 x - y ⋅ d y d x = 2 x - 2 y ⋅ d y d x

4 x 3 - 6 x 2 y + 2 x y 2 - 2 x 2 x - y ⋅ d y d x = 2 x - 2 y ⋅ d y d x

y - x 2 x - y ⋅ d y d x = x - 2 x 3 + 3 x 2 y - x y 2

d y d x = x - 2 x 3 + 3 x 2 y - x y 2 y - x 3 + x 2 y

Resposta

d y d x = x - 2 x 3 + 3 x 2 y - x y 2 y - x 3 + x 2 y

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