Enunciado

Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t . A derivada d P d t representa a taxa na qual o desempenho melhora.

Quando você acha que P aumenta mais rapidamente? O que acontece a d P d t quando t aumenta? Explique.

Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz é capaz, explique a razão pela qual a equação diferencial d P d t = k M - P , k uma constante positiva

é um modelo razoável para o aprendizado.

Faça um esboço de uma possível solução da equação diferencial.

Passo 1

P cresce mais rapidamente no início, já que geralmente existem muitas habilidades simples e fáceis de aprender associadas à aprendizagem de uma habilidade. À medida que t aumenta esperamos que d P d t permaneça positivo, mas cresça mais lentamente. Isso acontece porque com o passar do tempo vai sobrando coisas mais difíceis para serem aprendidas.

Passo 2

Perceba que d P d t = k M - P é sempre positiva, pois k é positivo e M é o valor máximo (maior que P ). Então o nível de desempenho de P está aumentando. Quando P se aproxima de M , d P / d t se aproxima de 0 , isto é, os níveis de desempenho diminuem. Então essa equação obedece a nossa explicação do item (a).

Passo 3

Uma possível solução seria aquela descrita nos itens anteriores: inicia em um valor e vai aumentando rapidamente, após certo tempo diminui seu crescimento até se aproximar de M , como mostra o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache a solução completa para a equação diferencial: x d y d x + 4 y = 5 x
Ache a solução completa para a equação diferencial: 3 y - 2 x d y d x = y
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x + y = 1 1 + e x
Ache a solução completa para a equação diferencial: x 2 d y d x + 2 x y = e x
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x = y 2 x + y 4