Enunciado

Ache a solução completa para a equação diferencial:

3 y - 2 x d y d x = y

Passo 1

A equação diferencial dada não é de primeira ordem em y . Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em x , devemos coloca-la na forma

d x d y + P y x = Q ( y )

Para y ≠ 0 , temos então:

d y d x = y 3 y - 2 x ⇒ d x d y = 3 y - 2 x y = 3 - 2 x y ⇒ d x d y + 2 y x = 3

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P y = 2 y e Q y = 3 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P y d y .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P y d y = ∫ 2 y d y = 2   l n ⁡ | y | + k

O fator de integração é então:

e ∫ P y d x = e 2   l n ⁡ | y | = e ln ⁡ y 2 = y 2 = y 2

Multiplicando a equação diferencial por y 2 :

y 2   d x d y + 2 y 2 y x = 3 y 2 ⇒ y 2 d x d y + 2 y x = 3 y 2

Passo 3

Como d y 2 d y = 2 y , temos:

y 2 d x d y + d ( y 2 ) d y   x = 3 y 2 ⇒ d y 2 x d y = 3 y 2

Agora integrando:

∫ d ( y 2 x   ) = ∫ 3 y 2 d y ⇒ y 2 x = y 3 + C ⇒ x = y + C y 2

Resposta

x = y + C y 2

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