Enunciado

Começando com a equação e x 1 ⋅ e x 2 = e x 1 + x 2 deduzida no texto, mostre que e - x = 1 / e x para qualquer número real x . Depois, mostre que e x 1 e x 2 = e x 1 - x 2 para quaisquer números x 1 e x 2 .

Passo 1

Partindo do ponto que e x 1 ⋅ e x 2 = e x 1 + x 2 é verdadeira, devemos mostrar as outras duas igualdades sendo válidas pra qualquer valor de x real.

Passo 2

Tomemos, então, y 1 = e x 1   e   y 2 = e x 2

Então,

x 1 = ln ⁡ y 1   e   x 2 = ln ⁡ y 2

x 1 - x 2 = ln ⁡ y 1 - l n y 2

Lembrando-se da propriedade da subtração de logaritmo temos

ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Aplicando no nosso problema, teremos

x 1 - x 2 = ln ⁡ y 1 y 2

Podemos empregar a função exponencial em ambos os lados e obteremos

e x 1 - x 2 = e ln ⁡ y 1 y 2

e x 1 - x 2 = y 1 y 2

Mas devemos lembrar que y 1 = e x 1   e   y 2 = e x 2 . Então, finalmente teremos

e x 1 - x 2 = e x 1 e x 2     ( i )

Passo 3

Demonstrada a propriedade no passo anterior, agora ficou fácil demonstrar que

e - x = 1 e x

Utilizando a propriedade ( i ) com x 1 = 0 e x 2 = x teremos

e x 1 - x 2 = e x 1 e x 2

e 0 - x = e 0 e x

e - x = e 0 e x

e - x = 1 e x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 - x 4 para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 2 .
Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )=1 , que f'0 em ( - ∞ ,1 ) e que f'0 em ( 1 ,∞ ) . A. Mostre que f x ≥1 para todo x . B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.
Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 + x 4 cos 4 ⁡ x para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 1 .
Suponha que 0 f' ( x )1 / 2 para todos os valores de x. Mostre que f ( -1 )f ( 1 )2+f ( -1 )
Demonstre que | c o sx-1 | | x | para todos os valores de x. (Dica: considere f t =c o ste m[ 0 ,x ] .)