Enunciado

Começando pelo gráfico de y = ln ⁡ x , encontre a equação do gráfico que resulta de

  1. Deslocar 3 unidades para cima
  2. Deslocar 3 unidades para a esquerda
  3. Fazer a reflexão em torno do eixo x
  4. Fazer a reflexão em torno do eixo y
  5. Fazer a reflexão em torno da reta y = x
  6. Fazer a reflexão em torno do eixo x e então em torno da reta y = x
  7. Fazer a reflexão em torno do eixo y e então em torno da reta y = x
  8. Deslocar 3 unidades para a esquerda e então fazer a reflexão em torno da reta y = x

Passo 1

Desejamos encontrar a partir do gráfico de y = ln ⁡ x as equações de várias “transformações” que podemos fazer com relação à esse gráfico. Assim, se quisermos deslocar o gráfico para cima n unidades basta que somemos n unidades à nossa função original. Sendo assim, teremos

y = ln ⁡ x + 3

Já se quisermos deslocar o gráfico n unidades para a esquerda/direita devemos somar/subtrair, respectivamente, n unidades dentro do argumento da função. Dessa forma, temos

y = ln ⁡ x + 3

Passo 2

A reflexão em torno do eixo x é dada quando multiplicamos nossa função original por - 1 . Dessa forma, vamos ter

y = - ln ⁡ x

Agora, em torno do eixo y a multiplicação deve ocorrer dentro do argumento da função, então, temos

y = ln ⁡ ( - x )

Um fato curioso sobre refletir a nossa função em torno da reta y = x dada que a função é um a um é que ao fazermos isso vamos encontrar a função inversa da que tínhamos originalmente. Sendo assim, temos

y = ln ⁡ x → x = e y → f - 1 = e x

Passo 3

Se quisermos refletir em torno do eixo x e depois em torno da reta y = x basta utilizarmos os dois resultados encontrados anteriormente e obteremos

y = - ln ⁡ x → f - 1 = e - x

O mesmo é válido para quando quisermos refletir em torno do eixo y , dadas as suas restrições. Vamos obter, assim, a seguinte equação

y = ln ⁡ - x → f - 1 = - e x

Por fim, primeiramente vamos deslocar 3 unidades para a esquerda para, então, refletirmos em torno da reta y = x . Obtendo

x = ln ⁡ ( y + 3 ) → y + 3 = e x → y = e x - 3

Resposta

a )   y = ln ⁡ x + 3

b )   y = ln ⁡ x + 3

c )   y =   - ln ⁡ x

d )   y = l n ⁡ ( - x )

e )   y = e x

f )   y = e - x

g )   y = - e x

h ) y = e x - 3

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