Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

22. y = sen ⁡ x ,     y = sen ⁡ 2 x ,   x = 0 ,   x = π / 2

Passo 1

Esboçando as curvas vamos ter que a área entre elas é essa:

Podemos realizar as integrações em relação a x para calcular a área desejada:

Aquele tamanho y vai ser a diferença entre sen ⁡ 2 x e sen ⁡ x , quando integrarmos de 0 até π / 3   , e a diferença entre sen ⁡ x e sen ⁡ 2 x , quando integrarmos de π / 3 até π / 2 , então a integral para descobrir a área fica:

A = ∫ 0 π / 3 sen ⁡ 2 x - sen ⁡ x d x + ∫ π / 3 π / 2 sen ⁡ x - sen ⁡ 2 x d x

A integral de uma soma é igual a soma das integrais:

A = ∫ 0 π / 3 sen ⁡ 2 x d x - ∫ 0 π / 3 sen ⁡ x d x + ∫ π / 3 π / 2 sen ⁡ x d x - ∫ π / 3 π / 2 sen ⁡ 2 x d x

A integral do seno é menos o cosseno (para integrar o sen ⁡ 2 x   só usar a substituição u = 2 x ):

A = - cos ⁡ 2 x 2 + cos ⁡ x 0 π / 3 + - cos ⁡ x + cos ⁡ 2 x 2 π / 3 π / 2

Aplicando os limites de integração:

A = - cos ⁡ 2 π 3 2 + cos ⁡ π 3 - - cos ⁡ 2 0 2 + cos ⁡ 0 +

+ - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 2 π 2 2 - - cos ⁡ π 3 + cos ⁡ 2 π 3 2

A = - - 1 2 2 + 1 2   - - 0   2 + 0 +

+ - 0 + - 1 2 - - 1 2 + - 1 2 2

A = 1 4 + 1 2 + - 1 2 + 1 2 - 1 4

A = 1 2

Resposta

A = 1 2

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33. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região compreendida pelas parábolas y = 2 x 2 e y = 3 - x 2 .
35. Determine o centroide de uma placa fina e plana que abrange a região "triangular" no primeiro quadrante, limitada pelo eixo y , pela parábola y = x 2 / 4 e pela reta y = 4 .
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). i ) ρ = 2 - cos ⁡ θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). g ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). o ) ρ = cos 2 ⁡ θ