Enunciado

Um cometa move-se numa órbita parabólica em torno do Sol, no foco da parábola. Quando o cometa está a 80 milhões de quilômetros do Sol, o segmento de reta do cometa ao Sol faz um ângulo de π / 3 rad com o eixo da órbita. (a) Ache a equação da órbita do cometa. (b) Qual a distância mínima entre o cometa e o Sol?

Passo 1

A questão diz que a órbita de um cometa é parabólica e que quando o cometa está a 80 milhões de km do Sol, o ângulo que ele faz com o eixo principal da parábola é π / 3 . Usando uma escala de unidades em milhões de km, temos o seguinte esquema:

Posicionamos o Sol (foco) na origem e a reta diretriz à sua direita. Nessa situação, a equação geral das cônicas em coordenadas polares é:

r = e d 1 - e cos ⁡ θ

Como se trata de uma parábola, temos que e = 1 , de modo que

r = d 1 - cos ⁡ θ

A questão faz duas perguntas: qual a equação da órbita (só falta achar d ) e qual a distância mínima do cometa ao Sol na órbita.

Passo 2

Para o item (a), queremos a equação da parábola. Portanto, precisamos achar d . Note que quando θ = π / 3 , temos que r = 80 . Assim,

80 = d 1 - cos ⁡ π 3 ⇒ d = 80 1 - 1 2 = 80 ⋅ 1 2 ⇒ d = 40

Assim, a equação da órbita é

r = 40 1 - cos ⁡ θ

*As unidades dessa equação são milhões de km.

Passo 3

Para o item (b) nós devemos achar a menor distância que o cometa fica do Sol. Isso ocorre em θ = π :

r m i n = 40 1 - cos ⁡ π = 40 1 - ( - 1 ) = 40 2 = 20

Assim, a distância mínima do cometa ao Sol são 20 milhões de quilômetros.

Resposta

(a)   r = 40 1 - cos ⁡ θ

(b) 20 milhões de km.

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