Enunciado

Comparando as definições 2,3 e 4, demosntre o teorema 1 da seção 2.3.

Passo 1

Opaaa... tudo bem?

O enunciado pede para demonstrarmos o teorema 1 da seção 2.3:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L ⇔ lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x ) = L

Para isso, precisamos recorrer as definições 2, 3 e 4 de limites dadas nesta seção. Vamos recordar essas definições:

Def. 2: lim x → a ⁡ f ( x ) = L se para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que:

a - δ < x < a + δ ⟹ f x - L < ϵ

Def. 3: lim x → a - ⁡ f ( x ) = L se para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que

a - δ < x < a ⟹ f x - L < ϵ

Def. 4: lim x → a + ⁡ f ( x ) = L se para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que

a < x < a + δ ⟹ f x - L < ϵ

Basicamente, o que queremos provar é que o limite existe e vale L se os limites laterais existirem e ambos valerem L , e vice versa.

Passo 2

Como toda demonstração do tipo “se, e somente, se” (que envolve ), devemos provar tanto a “ida” ( ) como a “volta” ( ). Neste passo vamos provar a “ida”, isto é,

lim x → a ⁡ f ( x ) = L ⟹ lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x ) = L

Em outras palavras, vamos mostrar que se o limite existe e vale L , os limites laterais vão existir e também vão valer ambos L .

Da definição 2, se

a - δ < x < a + δ ⟹ f x - L < ϵ

Então

a - δ < x < a ⟹ f x - L < ϵ

O que torna a condição dada pela definição 3 verdadeira: se x ∈   ] a - δ ,   a + δ [ , então x ∈   ] a - δ , a [ .

Assim, se a condição dada pela definição 2 é satisfeita, a condição dada pela definição 3 também será satisfeita. Então,

lim x → a ⁡ f ( x ) = L   ⟹ lim x → a - ⁡ f ( x ) = L

Analogamente, como se x ∈   ] a - δ ,   a + δ [ , então x ∈   ] a , a + δ [ , a definição 2 ser verdadeira implica na condição 4 ser verdadeira também. Assim,

lim x → a ⁡ f ( x ) = L   ⟹ lim x → a + ⁡ f ( x ) = L

Desta forma provamos a “ida”.

Passo 3

Agora vamos para a parte mais difícil: provar a “volta”! Queremos provar que se os limites laterais existem e são iguais a L , então o limite vai existir e valer L . Em linguagem matemática, queremos provar

lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a + ⁡ f ( x ) = L ⟹ lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Vamos considerar um dado ϵ > 0 . Se lim x → a - ⁡ f ( x ) = L , existe um δ - > 0 tal que

a - δ - < x < a ⟹ f x - L < ϵ

Analogamente, se lim x → a + ⁡ f ( x ) = L , existe um δ + > 0 tal que

a < x < a + δ + ⟹ f x - L < ϵ

Como nossa hipótese é de que os limites laterais existem e valem L , sabemos que os números δ - e δ + existem!

Bom, se tomarmos δ como algum número menor que δ _ e δ + , isto é, δ < m i n ⁡ { δ - , δ + } , então se a - δ < x < a + δ , então a - δ - < x < a ou a < x < a + δ + .

Note como foi importante a escolha δ < m i n ⁡ { δ - , δ + } que garante que se x ∈   ] a - δ , a + δ [ , então ou x está no intervalo ] a - δ - , a [ ou x está no intervalo ] a , a + δ + [ .

Assim, se x estiver em um dos dois intervalos (e sabemos que está), da hipótese de que os limites laterais existem e valem L , segue que f x - L < ϵ . Então, temos que

a - δ < x < a + δ ⟹ f x - L < ϵ

Mas isso é equivalente a mostrar que lim x → a ⁡ f ( x ) = L . Provamos a “volta”.

Como provamos a “ida” e a “volta”, demonstramos por completo o teorema!

Resposta

Demonstração.

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