Enunciado

Compare a dedução da Definição 6.5.2 com a da definição 6.4.2. Discuta as características geométricas que resultam nas semelhanças das duas definições.

Passo 1

O que o enunciado quer é que a gente liste as semelhanças nas deduções das fórmulas:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2 d x

E diga o que faz elas serem parecidas.

Passo 2

Pensando em semelhanças nas deduções, podemos lembrar que nos dois casos, a curva é aproximada por um conjunto de segmentos de retas. E nesses dois casos, é usada a mesma fórmula para calcular o comprimento dos segmentos:

l = Δ x k 2 + f x k - f x k - 1 2

É exatamente aí que entra a razão pela qual as duas são parecidas. Para poder usar a Soma de Riemann. o Teorema do Valor Médio é usado para colocar essa expressão com apenas uma variável:

f x k - f x k - 1 = f ' x k * Δ x k ∴ l = 1 + f ' x k * 2   Δ x k

E é daí que surge o termo comum as duas expressões:

1 + f ' x 2   d x

Resposta

Discussão nos passos

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A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
Mostre que se rotacionarmos a curva y = e x / 2 + e - x / 2 ao redor do eixo x , a área da superfície resultante tem o mesmo valor que o volume enclausurado para qualquer intervalo a ≤ x ≤ b .
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = x
A fórmula 4 é válida somente quando f x ≥ 0 . Mostre que quando f ( x ) não é necessariamente positiva, a fórmula para a área da superfície se torna: ∫ a b 2 π f ( x ) 1 + f ' x 2 d x