Enunciado

Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.

Passo 1

Queremos o volume de um sólido obtido quando giramos a área, entre f ( x ) (limitando por cima) e g ( x ) (limitando por baixo), em torno de x . É só usarmos a fórmulinha:

V = ∫ a b π f x 2 - g x 2 d x

Vamos começar!

Passo 2

Pela imagem vemos que:

f x = 2 - x 2

g x = x

Conseguimos visualizar que um dos extremos de integração é a = x = 0 (a reta que limita a área pela direita), mas o outro precisamos achar, fazendo a intercessão entre as curvas:

2 - x 2 = x ∴ x 2 + x - 2 = 0

Resolvendo essa equação, achamos:

x = 1 ,   x = - 2

Mas como pela figura, vemos que b > 0

b = 1

Nossa integral fica então:

V = ∫ 0 1 π [ 2 - x 2 2 - x 2 ] d x

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

V = ∫ 0 1 π [ 2 - x 2 2 - x 2 ] d x

Abrindo o produto notável:

V = ∫ 0 1 π 4 - 4 x 2 + x 4 - x 2 d x = π 4 x - 4 3 x 3 + x 5 5 - x 3 3 | 1 0

V = π 4 - 4 3 + 1 5 - 1 3 = 38 15 π

Resposta

V = 38 15 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sabemos do exemplo 1 que a região R = x , y x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 / x } tem área infinita. Mostre que pela rotação de R em torno do eixo x obtemos um sólido com volume finito.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.