Enunciado

Compare as funções f x = x 10 e g x = e x traçando f e g em várias janelas retangulares. Quando o gráfico de g ultrapassa o de f ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente comparar as funções f x = x 10 e g x = e x através do esboço de seus gráficos em várias janelas retangulares e dizer quando o gráfico da função g ultrapassa o da função f .

Pra isso, temos que ter em mente que estamos trabalhando com uma função potência ( f x = x 10 ) e uma função exponencial ( g x = e x ), que são duas coisas diferentes, tá? Porque na função potência, a variável é a base e na exponencial, a variável é o expoente.

No caso da nossa função exponencial, temos como base o número e , que é aproximadamente 2,71 . Essa função é chamada de exponencial natural e ela vai sempre ter uma inclinação igual a 1 e cortar o eixo y no ponto ( 0 ,   1 ) .

No caso da nossa função potência, temos um polinômil de grau 10 , que lembra o gráfico de uma parábola mais achatada na origem.

Com essas informações e com o auxílio de um software, conseguimos traçar o gráfico das duas e comparar o comportamento gráfico delas, verificando o ponto onde elas se encontram e onde uma ultrapassa a outra.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando o gráfico de f x = x 10 e g x = e x em uma janela retangular [ - 2 ,   2 ] por [ - 2 ,   2 ] :

Observe que em verde temos o gráfico de f e em azul o de g . Repare que não dá pra dizer em que momento as curvas se interceptam ainda. Então, vamos ampliar nossa janela de visualização no software.

Passo 3

Utilizando agora uma janela retangular [ - 5 ,   5 ] por [ - 5 ,   5 ] , onde x varia de - 5 a 5 e y também, vamos ter o gráfico:

Agora nós já conseguimos ver os pontos de encontro entre as duas curvas. Observe que para x > - 1 , o gráfico de g x = e x já fica acima do gráfico de f x = x 10 .

Vamos dar um zoom para ver melhor:

Observe que a curva e x em azul, vem crescendo muito próxima do eixo x até que encontra a curva x 10 (em verde) e começa a crescer muito mais rapidamente que a função potência. Então, nós podemos dizer que a função exponencial g x = e x ultrapassa f x = x 10 para valores maiores do que - 1 , aproximadamente.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o s   n o s   p a s s o s

g   u l t r a p a s s a   f   p a r a   x > - 1

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