Enunciado

  1. Completando o quadrado, mostre que
  2. ∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = π 3 3

  3. Ao fatorar x 3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do item a). Depois expresse 1 / ( x 3 + 1 ) como a soma de uma série de potências e use-a para provar a seguinte fórmula para π :

π = 3 3 4 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 8 n 2 3 n + 1 + 1 3 n + 2

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a ) . Para isto, temos que completar o quadrado do polinômio do denominador da integral. Temos então:

x 2 - x + 1 = x 2 - x + 1

x 2 - x + 1 = x 2 - x + 1 4 - 1 4 + 1

x 2 - x + 1 = x - 1 2 2 + 3 4

x 2 - x + 1 = 1 4 2 x - 1 2 + 3 4

x 2 - x + 1 = 3 4 ⋅ 2 x - 1 3 2 + 1

Portanto, nossa integral é:

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = ∫ 0 1 / 2 d x 3 4 ⋅ 2 x - 1 3 2 + 1 = 4 3 ⋅ ∫ 0 1 / 2 d x 2 x - 1 3 2 + 1

2 3 ⋅ arctan ⁡ 2 x - 1 3 0 1 2 = 2 3 ⋅ arctan ⁡ 0 - arctan ⁡ - 1 3 = 2 3 ⋅ 0 - - π 6

π 3 3

E assim, acabamos de provar o valor da letra a)!

Passo 2

Precisamos agora reescrever x 3 + 1 como uma soma de cubos (e vai fazer aparecer aquele denominador da letra a)! Este termo é nada mais e nada menos do que:

x 3 + 1 = x + 1 ⋅ x 2 - x + 1

Portanto,

∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = ∫ 0 1 / 2 x + 1 d x x 2 - x + 1 ⋅ x + 1 = ∫ 0 1 / 2 x + 1 ⋅ 1 x 3 + 1 d x

E o termo 1 / ( x 3 + 1 ) pode ser reescrito através da seguinte série de potêncoas:

1 1 + x 3 = 1 1 - ( - x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n

Portanto, nossa integral se transforma em:

∫ 0 1 / 2 x + 1 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n d x = ∫ 0 1 / 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n d x

Integrando ambas as séries, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 2 3 n + 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 3 n + 1 0 1 2

Reorganizando a nossa série, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x 3 n + 2 + 1 3 n + 1 x 3 n + 1 0 1 2

Substituindo os limites, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 1 2 ⋅ 3 n + 2 + 1 3 n + 1 1 2 3 n + 1 - 0

1 4 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1 ⋅ 1 8 n  

Relembrando que esta série que obtivemos representa a integral da letra a) cujo valor já calculamos, temos:

π 3 3 = 1 4 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1 ⋅ 1 8 n  

π = 3 3 4 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 8 n ⋅ 1 3 n + 2 + 2 3 n + 1  

E acabamos de provar o que a questão nos pede!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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