Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 40
- Completando o quadrado, mostre que
- Ao fatorar como uma soma de cubos, reescreva a integral do item a). Depois expresse como a soma de uma série de potências e use-a para provar a seguinte fórmula para :
Passo 1
Vamos começar resolvendo a letra . Para isto, temos que completar o quadrado do polinômio do denominador da integral. Temos então:
Portanto, nossa integral é:
E assim, acabamos de provar o valor da letra a)!
Passo 2
Precisamos agora reescrever como uma soma de cubos (e vai fazer aparecer aquele denominador da letra a)! Este termo é nada mais e nada menos do que:
Portanto,
E o termo pode ser reescrito através da seguinte série de potêncoas:
Portanto, nossa integral se transforma em:
Integrando ambas as séries, temos:
Reorganizando a nossa série, temos:
Substituindo os limites, temos:
Relembrando que esta série que obtivemos representa a integral da letra a) cujo valor já calculamos, temos:
E acabamos de provar o que a questão nos pede!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)