Enunciado

Encontre uma série de potências para f , plote f e varias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f x = ln ⁡ 3 + x

Passo 1

Para obtermos a função f como uma série de potências, precisamos visualiza-la como a integral de outra função. Vejamos então abaixo:

ln ⁡ 3 + x = ∫ 1 3 + x d x

ln ⁡ 3 + x = 1 3 ⋅ ∫ 1 1 - - x 3 d x

Percebam que o termo dentro da integral é um termo que já trabalhamos bastante, fazendo a mudança para uma série de potências. Ele pode ser escrito por:

1 1 + x 3 = ∑ n = 0 ∞ - x 3 n

1 1 + x 3 = 1 - x 3 + x 2 9 - x 3 27 + x 4 81 + …

Portanto,

ln ⁡ 3 + x = 1 3 ⋅ ∫ 1 - x 3 + x 2 9 - x 3 27 + x 4 81 + … d x

Resolvendo esta integral, temos:

ln ⁡ 3 + x = 1 3 ⋅ x - x 2 3 ⋅ 2 + x 3 9 ⋅ 3 - x 4 27 ⋅ 4 + x 5 81 ⋅ 5 … + C

ln ⁡ 3 + x = 1 3 ⋅ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ x n + C 3

ln ⁡ 3 + x = C 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 n ⋅ x n

Percebam que o trabalho que temos é tentar transformas todo o somatório em alguma série (compactar a resposta). Além disto, muito cuidado nesta hora. Não podemos esquecer da constante de integração! Precisamos descobrir qual o valor de C . Para isto, basta fazermos x = 0 na equação acima. Logo,

ln ⁡ 3 + 0 = C 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 n ⋅ 0 n

ln ⁡ 3 = C 3

C = 3 ⋅ ln ⁡ 3

Portanto, a representação da função f em série de potência é:

f x = ln ⁡ 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 n ⋅ x n

OBS: Percebam que a função converge em x < 3 (não testamos as extremidades). É importante sabermos disto para podermos resolver o próximo passo e inclusive obter o valor de C na nossa série.

Passo 2

Precisamos obter um gráfico que mostre algumas somas parciais da nossa série. Para isto, vamos precisar do auxílio de softwares. Vejamos então abaixo:

Percebam que à medida em que aumentamos a ordem da soma parcial, a nossa função se aproxima cada vez mais da função f x .

Resposta

f x = ln ⁡ 3 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 n ⋅ x n

À medida em que aumentamos o valor de n , nos aproximamos mais de f ( x ) .

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