Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 19
Encontre uma série de potências para , plote e varias somas parciais na mesma tela. O que acontece quando aumenta?
Passo 1
Para obtermos a função como uma série de potências, precisamos visualiza-la como a integral de outra função. Vejamos então abaixo:
Percebam que o termo dentro da integral é um termo que já trabalhamos bastante, fazendo a mudança para uma série de potências. Ele pode ser escrito por:
Portanto,
Resolvendo esta integral, temos:
Percebam que o trabalho que temos é tentar transformas todo o somatório em alguma série (compactar a resposta). Além disto, muito cuidado nesta hora. Não podemos esquecer da constante de integração! Precisamos descobrir qual o valor de . Para isto, basta fazermos na equação acima. Logo,
Portanto, a representação da função em série de potência é:
OBS: Percebam que a função converge em (não testamos as extremidades). É importante sabermos disto para podermos resolver o próximo passo e inclusive obter o valor de C na nossa série.
Passo 2
Precisamos obter um gráfico que mostre algumas somas parciais da nossa série. Para isto, vamos precisar do auxílio de softwares. Vejamos então abaixo:
Percebam que à medida em que aumentamos a ordem da soma parcial, a nossa função se aproxima cada vez mais da função .
Resposta
À medida em que aumentamos o valor de , nos aproximamos mais de .