Enunciado

Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função cos ⁡ x - sen ⁡ x .

Passo 1

Olá galera! Boraa resolver esta questão! Precisamos primeiro encontrar as séries de Taylor de cos ⁡ x e sen ⁡ x para depois usar a operação de subtração entre séries de Taylor.

Passo 2

Cálculo da série de Taylor de cos ⁡ x :

A função e suas derivadas são

f x = cos ⁡ x ⟹ f 0 = 1

f ' x = - sen ⁡ x ⟹ f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sen ⁡ x ⟹ f ' ' ' 0 = 0

f ( 4 ) x = cos ⁡ x ⟹ f ( 4 ) 0 = 1

Aproveitando a periodicidade de cos ⁡ x , então podemos escrever

cos ⁡ x = 1 0 ! - 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + …

Passo 3

Cálculo da série de Taylor de sen ⁡ x :

A função e suas derivadas são

g x = sen ⁡ x ⟹ g 0 = 0

g ' x = cos ⁡ x ⟹ g ' 0 = 1

g ' ' x = - sen ⁡ x ⟹ g ' ' 0 = 0

g ' ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ g ' ' ' 0 = - 1

g 4 x = sen ⁡ x ⟹ g 4 0 = 0

Aproveitando a periodicidade de sen ⁡ x , então podemos escrever

sen ⁡ x = 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + …

Passo 4

Já demos um grande passo. O que resta agora é subtrair as duas séries

cos ⁡ x - sen ⁡ x = 1 0 ! - 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 - 1 6 ! x 6 + … - 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + …

cos ⁡ x - sen ⁡ x = 1 0 ! - 1 1 ! x - 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 - 1 5 ! x 5 - 1 6 ! x 6 + 1 7 ! x 7 + …

cos ⁡ x - sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n n !

Resposta

Explicação no passo a passo

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