Enunciado

14.36. Se uma função de uma variável é contínua em um intervalo e tem um único ponto crítico, então um máximo local tem de ser um máximo absoluto. Mas isso não é verdadeiro para as funções de duas variáveis. Mostre que a função

f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y

Tem exatamente um ponto crítico, onde f tem um máximo, local, porém este não é um máximo absoluto. Em seguida utilize um computador com uma escolha conveniente de janela de inspeção e ponto de vista para ver como isso é possível.

Passo 1

Então precisamos provar que a função f ( x , y ) só tem dois pontos críticos, a ambos são pontos de máximo. Então vamos procurar esses pontos, tudo que precisamos fazer é igualar a primeira derivada igual à 0.

Vamos começar fazendo essas derivadas

f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y

Vamos começar fazendo f x , primeiro vamos separar em duas derivadas

f x = ∂ 3 x e y - x 3 - e 3 y ∂ x

f x = 3 e y - 3 x 2

Agora vamos fazer f y

f y = ∂ 3 x e y - x 3 - e 3 y ∂ y

f y = 3 x e y - 3 e 3 y

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = 3 e y - 3 x 2 = 0

f y = 3 x e y - 3 e 3 y = 0

De f x a gente pode ver que para aquela equação ser 0 temos 3 e y = 3 x 2   então e y = x 2

Vamos substituir isso em f y :

3 x x 2 - 3 x 2 ⋅ 3 = 0

3 x 3 - 3 x 6 = 0

Então as únicas possibilidades são x = 0 ou x = 1 , porem se x = 0 então e y ≠ x 2 já que e y ≠ 0 . Então o nosso único ponto de interesse é onde x = 1 . Agora vamos achar o valor de y

e y = 1 2

y = ln ⁡ 1

Então

y = 0

Logo nosso ponto é 1,0

Passo 3

Já temos nosso ponto de interesse, mas falta dizer se é mesmo um ponto de máximo, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 3 e y - 3 x 2

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ 3 e y - 3 x 2 ∂ x = - 6 x

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = 3 x e y - 3 e 3 y

Derivando em relação a y

f y y = ∂ 3 x e y - 3 e 3 y ∂ y = 3 x e y - 9 e 3 y

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 3 e y - 3 x 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 3 e y - 3 x 2 ∂ y = 3 e y

Passo 4

Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.

Vamos testar para o ponto 1 , 0

D 1 , 0 = - 6 3 - 9 - 3 2

D 1 , 0 = 27 > 0

Então temos que analisar f x x 1 , 0

f x x 1 , 0 = - 6 < 0

Então é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora temos um ponto de máximo, vamos ver no gráfico se ele é ou não absoluto

Olha só, existem pontos com valores maiores que o ponto de máximo que encontramos, então concluímos que é um ponto de máximo local.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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