Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 36
14.36. Se uma função de uma variável é contínua em um intervalo e tem um único ponto crítico, então um máximo local tem de ser um máximo absoluto. Mas isso não é verdadeiro para as funções de duas variáveis. Mostre que a função
Tem exatamente um ponto crítico, onde tem um máximo, local, porém este não é um máximo absoluto. Em seguida utilize um computador com uma escolha conveniente de janela de inspeção e ponto de vista para ver como isso é possível.
Passo 1
Então precisamos provar que a função só tem dois pontos críticos, a ambos são pontos de máximo. Então vamos procurar esses pontos, tudo que precisamos fazer é igualar a primeira derivada igual à 0.
Vamos começar fazendo essas derivadas
Vamos começar fazendo , primeiro vamos separar em duas derivadas
Agora vamos fazer
Passo 2
Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então
De a gente pode ver que para aquela equação ser temos então
Vamos substituir isso em :
Então as únicas possibilidades são ou , porem se então já que . Então o nosso único ponto de interesse é onde . Agora vamos achar o valor de
Então
Logo nosso ponto é
Passo 3
Já temos nosso ponto de interesse, mas falta dizer se é mesmo um ponto de máximo, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vamos calcular as segundas derivadas então
Agora derivamos isso em relação a
A outra derivada que precisamos é
Derivando em relação a
E a última derivada que precisamos é
ou
Vamos derivar isso em relação a
Passo 4
Agora vamos verificar a natureza dos pontos críticos.
Vamos testar para o ponto
Então temos que analisar
Então é um ponto de máximo.
Passo 5
Agora temos um ponto de máximo, vamos ver no gráfico se ele é ou não absoluto
Olha só, existem pontos com valores maiores que o ponto de máximo que encontramos, então concluímos que é um ponto de máximo local.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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