Enunciado

Por comportamento final de uma função queremos indicar uma descrição do que acontece com seus valores quando x → ∞ e quando x → - ∞ .

  1. Descreva e compare o comportamento final das funções
  2. P x = 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x e Q x = 3 x 5

    por meio do gráfico de ambas, nas janelas retangulares - 2,2 por - 2,2 e - 10,10 por - 10000 ,   10000 .

  3. Dizemos que duas funções têm o mesmo comportamento final se sua razão tende a 1 quando x → ∞ . Mostre que P e Q têm o mesmo comportamento final.

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vamos resolver mais uma atividade hoje, e eu estarei aqui para te ajudar a resolver.

A gente aqui vai primeiramente descrever e comparar o comportamento das duas funções em diferentes janelas retangulares.

As janelas retangulares são delimitações utilizadas comumente por softwares gráficos, para gerar nossos gráficos. Como os eixos coordenados são infinitos, costumeiramente o que se faz é definir um intervalo de x e y para o qual se irá gerar e mostrar o usuário o gráfico da função.

Então em cada janela das mostradas, iremos visualizar uma porção diferente do mesmo gráfico. A partir então desses gráficos é que iremos comentar os seus comportamentos nas duas letras.

Passo 2

  1. Vamos começar analisando o comportamento das funções através de seus gráficos. Na primeira janela - 2,2 por - 2,2 , temos o seguinte:
  2. Agora a análise na segunda janela - 10,10 por - 10000 ,   10000 .

    Pela análise dos gráficos, conseguimos intuir que:

    lim x → ∞ ⁡ P ( x ) = lim x → ∞ ⁡ Q ( x ) = ∞ e lim x → - ∞ ⁡ P ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ Q ( x ) = - ∞

    Também conseguimos perceber que na segunda janela os gráficos são bem parecidos, isso também indica que o comportamento final dos gráficos será o mesmo. Na primeira janela isso não fica tão nítido, agora vamos provar que o comportamento final é o mesmo na letra b).

    Passo 3

  3. Para mostrar que o comportamento final é o mesmo, devemos verificar que:

lim x → ∞ ⁡ P ( x ) Q ( x ) = 1

Vamos lá,

lim x → ∞ ⁡ P ( x ) Q ( x ) = l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5

Aqui eu vou separar em 3 frações.

l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5 = l i m x → ∞ 3 x 5 3 x 5 - 5 x 3 3 x 5 + 2 x 3 x 5

Simplificando então cada x nas equações:

l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5 = l i m x → ∞ 1 - 5 3 x 2 + 2 3 x 4

Calculando o limite de cada função individualmente e retirando as constantes do limite:

l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5 = l i m x → ∞ 1 - 5 3 l i m x → ∞ 1 x 2 + 2 3 l i m x → ∞ 1 x 4

Calculando o limite:

l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5 = 1 - 5 3 ⋅ 0 + 2 3 ⋅ 0

l i m x → ∞ 3 x 5 - 5 x 3 + 2 x 3 x 5 = 1

Como o quociente tende para 1 , concluímos que as funções têm o mesmo comportamento final. Já era de se esperar pela análise dos gráficos da questão a).

Resposta

  1. Ver o gráfico e o desenvolvimento.
  2. Como o quociente tende para 1 , concluímos que as funções têm o mesmo comportamento final.
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