Enunciado

Encontre os limites quando   x → ∞ e quando x → - ∞ Use essa informação, bem como as intersecções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 12.

y = x 4 - x 6

Passo 1

Bom, a primeira coisa que a gente pode fazer aí é fatorar pra ficar mais fácil. Temos que:

x 4 ( 1 - x 2 )

Beleza, agora a gente tem um produto de polinônimos.

O problema pede a interseção com os eixos e os limites com x tendendo a mais e menos infinito. Vamos fazer um por um...

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x 4 ( 1 - x 2 )

Olha só, imagina que você tem um número muito grande elevado a 4 (fica positivo) multiplicado por 1 menos esse número grandão ao quadrado.

Dentro do parêntese vai fica negativo né? Tipo: 1 - ∞ 2 =   - ∞ (só pra entender melhor)

Então, nosso produto vai dar negativo e teremos que:

lim x → ∞ ⁡ x 4 ( 1 - x 2 ) =   - ∞

Ou seja, quanto mais o valor de x cresce, mais a nossa função decresce.

Passo 3

Vamos ver o contrário agora:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 ( 1 - x 2 )

Bom, aqui é o contrário né?! Vamos ter um número muito pequeno elevado a 4, (que vai dar + ∞ ) multiplicado por 1 - ∞ = - ∞

Então vamos ter positivo multiplicado por negativo, o que nos leva a concluir que:

lim x → - ∞ ⁡ x 4 1 - x 2 =   - ∞

Quanto menor o x , menor a função.

Passo 4

Só falta as interseções com os eixos agora. Vamos lá:

  • Eixo x → x 4 1 - x 2 = 0 → x = 0   o u   1 - x 2 = 0 → x = ± 1
  • Então, a função intersecta o eixo x   em x = 0 e x = ± 1

  • Eixo y → 0 4 1 - 0 2 = 0

A interseção com y   então é no ponto ( 0,0 )

Passo 5

Juntando essas informações, a gente monta o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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