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Comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor adequado de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio.

f x = x 2 + 4 x x - 7 ; [ 2 ,   6 ]

Passo 1

Observe que, como f é um quociente é preciso garantir que seu denominador sempre seja diferente de zero. Assim:

x - 7 ≠ 0 ⇒

x ≠ 7

Logo o domínio de f é dado por:

D f = - ∞ , 7 ⋃ ( 7 ,   + ∞ )

Como 2 ,   6 ⊂ D f , e f é a divisão de funções contínuas neste intervalo, temos que f é contínua em [2, 6].

Passo 2

Note que f é derivável em todo seu domínio, assim f é derivável no intervalo (2, 6).

Passo 3

Observe que f satisfaz as condições do teorema do valor médio. Logo existe c ∈ ( 2 ,   6 ) tal que:

f ' c = f 6 - f ( 2 ) 6 - 2

Note que:

f 2 = 2 2 + 4.2 2 - 7 ⇒

f 2 = 4 + 8 - 5 ⇒

f 2 = - 12 5

E também:

f 6 = 6 2 + 4.6 6 - 7 ⇒

f 6 = 36 + 24 - 1 ⇒

f 6 = - 5 0

Assim:

f ' c = f 6 - f 2 6 - 2 ⇒

f ' c = - 12 5 - - 50 4 ⇒

f ' c = - 12 5 + 50 4 ⇒

f ' c = - 12 + 250 5 4 ⇒

f ' c = 238 5 4 ⇒

f ' c = 238 5 . 1 4 ⇒

f ' c = 119 10

Resposta

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