Enunciado

Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f x = cos ⁡ 2 x ,   π 8 , 7 π 8

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e eu estarei te ajudando a resolver essa atividade. Iremos aqui verificar se a função dada satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle.

O teorema de Rolle pode ser aplicado a uma função f ( x ) no intervalo [ a , b ] , se:

  1. f é continua em a , b ;
  2. f é diferenciavel em ( a , b ) ;
  3. f a = f b

Então existe um c   ∈ ( a , b ) tal que f ' c = 0 .

Passo 2

Derivando f x , temos que:

f ' x = - 2 sin ⁡ 2 x

Nós teremos que encontrar

f ' c = 0

Isso implica em

2 sin ⁡ 2 c = 0

sin ⁡ 2 c = 0

Lembre-se que sin ⁡ θ = 0 quando θ = n π

Sendo assim:

2 c = n π

c = n π 2

Sendo n um número inteiro.

Porém nós apenas queremos valores de c que pertença ao intervalo π 8 , 7 π 8 .

E apenas c = π 2 pertence a este intervalo.

Resposta

A função satisfaz as três hipóteses e o número c que satisfaz à conclusão é π 2 .

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