Enunciado

Considere a curva C de intersseção das superfícies definidas de equações x 2 - 2 x z + y 2 z = 3 e 3 x y - 2 y z = - 2 . Determine:

Um vetor tangente a C em ( 1 , - 2,1 ) .

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente precisa saber que por definição o vetor direção tangente da interseção de duas superfícies é dada por:

∇ F ( P 0 ) × ∇ G P 0

Ou seja, é o produto vetorial do vetor gradiente das duas equações no ponto que a gente quer, infelizmente a gente tem que decorar essa propriedade, mas usa ela aqui comigo que eu prometo que logo não vai mais sair da sua cabeça. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos logo calcular os vetores gradientes das duas equações, pra isso basta a gente calcular as derivadas parciais e para o ponto que a questão pediu, é bem assim na primeira equação:

Primeiro a gente deriva parcialmente

∇ F P 0 = ( 2 x - 2 z ; 2 y z ; - 2 x + y 2 )

Agora calculamos isso no ponto da questão:

∇ F 1 , - 2,1 = 2 1 - 2 1 ; 2 - 2 1 ; - 2 1 + - 2 2

→ ∇ F 1 , - 2,1 = 0 ; - 4 ; 2

E fazemos igual para a segunda equação:

∇ G P 0 = ( 3 y ; 3 x - 2 z ; - 2 y )

No ponto fica:

∇ G 1 , - 2,1 = 3 - 2 ; 3 1 - 2 1 ; - 2 - 2

→ ∇ G 1 , - 2,1 = - 6 ; 1 ; 4

Passo 3

Show de bolinhas, agora a gente precisa calcular o produto vetorial disso, lembra que a gente pode fazer isso calculando o determinante de uma matriz assim:

i ^ j ^ k ^ v → x v → y v → z u → x u → y u z

Então o nosso produto vetorial vai ficar:

d e t i ^ j ^ k ^ 0 - 4 2 - 6 1 4

Calculando o determinante:

v → = - 4 4 i ^ + 2 - 6 j ^ + 0 1 k ^ - 1 2 i ^ - 0 4 j ^ - ( - 6 ) ( - 4 ) k ^

→ v → = - 16 i ^ - 12 j ^ + 0 k ^ - 2 i ^ - 0 j ^ - 24 k ^

→ v → = - 18 i ^ - 12 j ^ - 24 k ^

Passo 4

Pronto agora podemos escreve o nosso vetor assim:

v → = ( - 18 , - 12 , - 24 )

A gente até poderia deixar assim, mas como é um vetor direção é melhor que ele fique o mais simplificado possivel, pra isso a gente pode ver de cara um valor pra dividir tudo ou pega o MDC (máximo divisor comum), no caso a gente pode dividir tudo por - 6 , aí fica assim:

v → = - 18 , - 12 , - 24 - 6 = ( 3,2 , 4 )  

E prontinho. 😊

Resposta

( 3,2 , 4 )

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