Enunciado

Considere a curva C de intersseção das superfícies definidas de equações x 2 - 2 x z + y 2 z = 3 e 3 x y - 2 y z = - 2 . Determine:

Os pontos do hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 0 onde o plano tangente é perpendicular ao vetor encontrado no item a ) .

Passo 1

Bom galera, a questão quer que a gente encontre os pontos em que o plano tangente é perpendicular ao vetor ( 3 , 2,4 ) do item anterior.

Pra isso a gente precisa lembrar que por definição o vetor grádiente é esse vetor perpendicular a o ponto de uma superfície, logo perpendicular também a um plano tangente. Assim:

Passo 2

Belezinha, então a gente precisa que o nosso vetor gradiente nos pontos sejam iguais ao nosso vetor direção. Então vamos começar pegando as derivadas parciais pra encontrar o vetor gradiente:

∇ F = ∂ f ∂ x ; ∂ f ∂ y ; ∂ f ∂ z

→ ∇ F = 2 x ; 2 y ; - 2 z

Passo 3

Show de bolinhas, agora a gente precisa encontrar os pontos em que esse vetor gradiente seja igual aquele do item passado 3,2 , 4 , lembrando que como é um vetor direção pode ser tanto negativo como positivo, logo podemos montar uma equação assim:

∇ F P 0 = 2 x ; 2 y ; - 2 z = ± 3,2 , 4

Então podemos motar umas equaçõezinhas e calcular os valores dos pontos:

x = 2 * ± 3

Onde encontramos x = ± 6 , agora y :

y = 2 * ± 2

Ficamos com: y = ± 4

E agora z :

- z = 2 * ± 4

Ficamos com: z = ∓ 8

Logo temos os pontos:

6,4 , - 8 e - 6 , - 4,8

E prontinho. 😊

Resposta

6,4 , - 8

- 6 , - 4,8

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13-Considere o elipsóide de equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 . Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano x + 4 y + 6 z = 30 .
Nos Exercícios 1-8, encontre equações para a. o plano tangente b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.
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Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado.