Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 2 x 2 + 3

Passo 1

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
  2. f ' x = x 2 x 2 + 3 '

    Vamos usar as regras de derivação da função constante, da divisão e do polinômio:

    c ' = 0

    f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

    x n ' = n x n - 1

    Passo 2

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = x 2 x 2 + 3 ' = x 2 ' . x 2 + 3 - x 2 . x 2 + 3 ' x 2 + 3 2 = 2 . x 2 - 1 . x 2 + 3 - x 2 . 2 . x 2 - 1 + 0 x 2 + 3 2 = 2 x x 2 + 3 - x 2 . 2 x x 2 + 3 2 = 2 x 3 + 6 x - 2 x 3 x 2 + 3 2 = 6 x x 2 + 3 2

    O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

    Passo 3

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = 0 há mudança do sinal de f ' , e como em x = 0 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
  4. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f 0 = 5 - 3 . 0 2 + 0 3 = 0 2 0 2 + 3 = 0

    Passo 4

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal, aqui usaremos também a regra da cadeia:

F ' x = f ' g x . g ' x

Vamos lá então:

f ' ' x = 6 x x 2 + 3 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 6 x ' . x 2 + 3 2 - 6 x . x 2 + 3 2 ' x 2 + 3 2 2 = 6 . x 1 - 1 . x 2 + 3 2 - 6 x . 2 . x 2 + 3 2 - 1 . x 2 + 3 ' x 2 + 3 4 = 6 x 2 + 3 2 - 12 x x 2 + 3 2 x 2 - 1 + 0 x 2 + 3 4 = 6 x 2 + 3 2 - 12 x x 2 + 3 2 x x 2 + 3 4 = 6 x 2 + 3 2 - 24 x 2 x 2 + 3 x 2 + 3 4 = 6 x 2 + 3 - 24 x 2 x 2 + 3 3 = 6 x 2 + 18 - 24 x 2 x 2 + 3 3 = 18 - 18 x 2 x 2 + 3 3 = - 18 - 1 + x 2 x 2 + 3 3 = - 18 x + 1 x - 1 x 2 + 3 3

O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

Para achar os pontos de inflexão devamos fazer f ' ' x = 0 :

f ' ' x = - 18 x + 1 x - 1 x 2 + 3 3 = 0 → - 18 x + 1 x - 1 = 0 → x + 1 x - 1 = 0

x = 1 e x = - 1

Para garantir que x = ± 1 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( ± 1 ) existe:

f ± 1 = ± 1 2 ± 1 2 + 3 = 1 4

Temos que o ponto de inflexão é ± 1 , 1 4 .

Resposta

  1. Decrescente em - ∞ , 0 e Crescente em 0 , ∞
  2. f 0 = 0 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em - ∞ , - 1 e 1 , ∞ e para cima em - 1,1 e ponto de inflexão é ± 1 , 1 4
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