Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 8
O gráfico da primeira derivada de uma função é mostrado.
- Em que intervalos é crescente? Explique.
- Em que valores de , tem um máximo ou mínimo local. Explique.
- Em que intervalos é côncavo para cima ou côncavo para baixo?
- Quais são as coordenadas dos pontos de inflexão de ? Por que?
Passo 1
- é crescente quando , olhando o gráfico temos então que é crescente nos intervalos:
- tem um valor máximo local quando troca de sinal de positivo para negativo, vemos no gráfico que isso ocorre em:
- é côncava para cima quando , e isso acontece quando é crescente, assim é côncava para cima nos intervalos que a inclinação do gráfico é positiva:
- Um ponto de inflexão acontece quando a concavidade da função troca de côncava para cima para côncava para baixo, e vice-versa.
e
Passo 2
e
E tem um valor mínimo local quando troca de sinal negativo para positivo, vemos no gráfico que isso ocorre em:
Passo 3
, e
E é côncava para baixo quando , e isso acontece quando é decrescente, assim é côncava para baixo nos intervalos que a inclinação do gráfico é negativa:
, e
Passo 4
Sabemos que a função é côncava para cima nos intervalos onde a inclinação do gráfico de é positiva, e que é côncava para baixo nos intervalos onde a inclinação do gráfico de é negativa, então temos pontos de inflexão onde ocorre essa mudança:
Resposta
- e
- é crescente em e , e decrescente em
- é côncava para cima em , e , e côncava para baixo em , e
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