Enunciado

O gráfico da primeira derivada f ' de uma função f é mostrado.

  1. Em que intervalos f é crescente? Explique.
  2. Em que valores de x , f tem um máximo ou mínimo local. Explique.
  3. Em que intervalos f é côncavo para cima ou côncavo para baixo?
  4. Quais são as coordenadas x dos pontos de inflexão de f ? Por que?

Passo 1

  1. f é crescente quando f ' x > 0 , olhando o gráfico temos então que f é crescente nos intervalos:
  2. 0,4 e 6,8

    Passo 2

  3. f tem um valor máximo local quando f ' x troca de sinal de positivo para negativo, vemos no gráfico que isso ocorre em:
  4. x = 4 e x = 8

    E f tem um valor mínimo local quando f ' x troca de sinal negativo para positivo, vemos no gráfico que isso ocorre em:

    x = 6

    Passo 3

  5. f é côncava para cima quando f ' ' x > 0 , e isso acontece quando f ' x é crescente, assim f é côncava para cima nos intervalos que a inclinação do gráfico é positiva:
  6. 0,1 , 2,3 e 5,7

    E f é côncava para baixo quando f ' ' x < 0 , e isso acontece quando f ' x é decrescente, assim f é côncava para baixo nos intervalos que a inclinação do gráfico é negativa:

    1,2 , 3,5 e 7 , ∞

    Passo 4

  7. Um ponto de inflexão acontece quando a concavidade da função troca de côncava para cima para côncava para baixo, e vice-versa.

Sabemos que a função f x é côncava para cima nos intervalos onde a inclinação do gráfico de f ' x é positiva, e que f x é côncava para baixo nos intervalos onde a inclinação do gráfico de f ' x é negativa, então temos pontos de inflexão onde ocorre essa mudança:

x = 1,2 , 3,5 , 7

Resposta

  1. 0,4 e 6,8
  2. f é crescente em x = 4 e x = 8 , e decrescente em x = 6
  3. f é côncava para cima em 0,1 , 2,3 e 5,7 , e côncava para baixo em 1,2 , 3,5 e 7 , ∞
  4. x = 1,2 , 3,5 , 7
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