Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimos locais de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 3

Passo 1

Fala aí! Bora ver o que essa questão quer da gente?!

O enunciado nos da uma função f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 3 e pede algumas coisas em relação a ela:

  1. Os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Os valores máximo e mínimos locais de f .
  3. Os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Pra isso a gente vai usar as derivadas primeira e segunda da função f ( x ) . Vamos nessa?!

Passo 2

Para encontrar onde f é crescente ou decrescente vamos calcular a primeira derivada de f :

f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 3

f ' x = 2 3 x 3 - 1 - 9 ( 2 ) x 2 - 1 + 12 - 0 =

f ' x = 6 x 2 - 18 x + 12

Podemos ainda manipular e função da seguinte forma:

f ' ( x ) = 6 x 2 - 3 x + 2

f ' ( x ) = 6 x - 1 x - 2

Lembrando que: Se a derivada de uma função é positiva é sinal que ela é crescente, derivada negativa a função é decrescente!

Vamos analisar os sinais de x - 1 e de x - 2 pra saber quando f ' x assume valores positivos e negativos:

Se   x - 1 e x - 2 são positivos ou negativos, então f ( x ) é positivo, caso contrário f x é negativo. Olhando as retas acima podemos concluir que:

f ' x > 0 , portanto f é crescente, nos intervalos de x :

- ∞ , 1 e 2 , ∞

f ' x < 0 , portanto f é decrescente, no intervalo de x :

1,2

Passo 3

Agora queremos os valores de máximo e mínimos locais de f !

f tem um valor máximo local quando f ' x troca de sinal de positivo para negativo, e tem um valor mínimo local quando f ' x troca de sinal negativo para positivo, vamos calcular os f ' de pontos antes e depois de x = 1 e x = 2 para saber o comportamento deles:

f ' x = 6 x 2 - 18 x + 12

Para x = 0 :

f ' 0 = 6 × 0 2 - 18 × 0 + 12 = 12 > 0

Para x = 1,5 :

f ' 1,5 = 6 × 1,5 2 - 18 × 1,5 + 12

f ' ( 1,5 ) = 27 2 - 27 + 12 = - 3 2 < 0

Temos então que x = 1 é máximo local.

Para x = 3 :

f ' 3 = 6 × 3 2 - 18 × 3 + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0

Comparando f ' ( 1,5 ) e f ' 3   t emos que x = 2 é mínimo local.

Passo 4

Pra acabar queremos os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão, para isso vamos calcular f ' ' ( x ) :

f ' x = 6 x 2 - 18 x + 12

f ' ' x = 6 ( 2 ) x 2 - 1 - 18 + 0 = 12 x - 18

Para achar onde o gráfico de f é côncavo para cima temos que achar o intervalo onde f ' ' x > 0 :

f ' ' x > 0 → 12 x - 18 > 0 → x > 3 2

Então é côncava para cima em:

3 2 , ∞

E para achar onde o gráfico de f é côncavo para baixo temos que achar o intervalo onde f ' ' x < 0 :

f ' ' x < 0 → 12 x - 18 < 0 → x < 3 2

Então é côncava para baixo em:

- ∞ , 3 2

Passo 5

Um ponto de inflexão acontece quando a concavidade da função troca de côncava para cima para côncava para baixo, e vice-versa, achamos esse ponto em f ' ' x = 0 :

f ' ' x = 0 → 12 x - 18 = 0 → x = 3 2

Vamos calcular f 3 2 para achar o ponto:

f 3 2 = 2 ⋅ 3 2 3 - 9 ⋅ 3 2 2 + 12 ⋅ 3 2 - 3 = 27 4 - 81 4 + 18 - 3 = 3 2

Pronto, temos que o ponto de inflexão é 3 2 , 3 2 .

Resposta

  1. Crescente em - ∞ , 1 e 2 , ∞ , decrescente em 1,2
  2. x = 1 é máximo local, x = 2 é mínimo local
  3. Côncava para cima em ( 2 3 , ∞ ) , côncava para baixo em ( - ∞ , 3 2 ) , ponto de inflexão é 3 2 , 3 2
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