30. Considere a equação

x \* dv/dx = (v^2 - 4) / (1 - v)

Note que a Eq. (iii) é separável.

(d) Resolva a Eq. (iii) obtendo υ implicitamente em função de x.

Passo 1

Olá, vamos da continuidade a nossa resolução?!

Agora na letra d) a gente precisa integrar a equação I I I :

x d v d x = v 2 - 4 1 - v

E nessa integração queremos obter v em função de x .

Passo 2

d )   Agora que já temos a expressão podemos integrar ela, vamos ter que usar de sagacidade para resolver, observa só

x d v d x = v ² - 4 1 - v  

Vamos separar as variáveis

1 - v v ² - 4 d v = 1 x d x

∫ 1 - v v ² - 4 d v = ∫ 1 x d x

Vamos manipular um pouquinho agora, vamos dividir a nossa primeira integral em duas:

∫ 1 v ² - 4 d v - ∫ v v ² - 4 d v = ln ⁡ x

Vamos integrar cada item de cada vez agora:

∫ 1 v ² - 4 d v

Passo 3

Vamos usar de frações parciais para resolver o nosso problema

1 v ² - 4 = 1 ( v - 2 ) ( 2 + v )

1 v ² - 4 = a v - 2 + b 2 + v

1 v ² - 4 =   a v + 2 + b v - 2 v ² - 4  

Sabemos que:

2 a - 2 b = 1

Logo:

a + b v = 0

a = - b

E também que:

2 a - 2 b = 1

Substituindo:

- 2 b - 2 b = 1

b = - 1 4

a = 1 4

Assim nossa integral fica:

∫ 1 v 2 - 4 d v = ∫ 1 4 v - 2 d v - ∫ 1 4 v + 2

Então temos:

∫ 1 4 v - 2 d v = 1 4 ln ⁡ | v - 2 |

E:

∫ 1 4 v + 2 = 1 4 ln ⁡ | v + 2 |

∫ 1 v 2 - 4 d v = 1 4 ln ⁡ | v - 2 | - 1 4 ln ⁡ | v + 2 |

Pronto, terminamos um pedaço, agora só resta o outro.

Passo 4

Temos então nossa segunda integral:

∫ v v ² - 4 d v

Essa equação podemos fazer por substituição:

v 2 - 4 = u

2 v d v = d u

Dessa forma temos:

∫ v v 2 - 4 d v

∫ 1 2 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Podemos voltar do nosso sistema em u v:

1 2 ln ⁡ u → 1 2 ln ⁡ v 2 - 4

Passo 5

Vamos unir agora todos os cálculos numa só equação:

1 4 ln ⁡ | v - 2 | - 1 4 ln ⁡ v + 2 - 1 2 ln ⁡ v 2 - 4 = ln ⁡ x

Já que termos todos os termos em l n podemos manipular para deixa a equação mais explicita:

1 4 ln ⁡ | v - 2 | - 1 4 ln ⁡ v + 2 - 1 2 ln ⁡ v + 2 + 1 2 ln ⁡ v - 2 = ln ⁡ x

3 4 ln ⁡ v - 2 - 3 4 ln ⁡ v + 2 = ln ⁡ x

3 4 ln ⁡ v - 2 v + 2 = ln ⁡ x

Agora sim podemos aplicar a exponencial em ambos os lados e retirar o ln ⁡ :

v - 2 v + 2 3 4 = x

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

v - 2 v + 2 3 4 = x

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