Enunciado

(a) Mostre que, se P satisfizer a equação logística 1 , então

d 2 P d t 2 = k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K

(b) Deduza que a população cresce mais rapidamente quando ela atinge a metade de sua capacidade de suporte.

Passo 1

(a) Beleza, galera? A equação logística à qual o enunciado faz referência é esta:

d P d t = k P 1 - P K

Pra mostrarmos que aquela expressão de   d 2 P d t 2 é verdadeira, podemos partir da equação logística, tomando a derivada em relação a t dos dois lados, pois lembre-se:

d d t d P d t = d 2 P d t 2

d 2 P d t 2 = k P ' 1 - P K + k P   1 - P K '

Usamos a regra do produto, e agora não se esqueça de usar a regra da cadeia quando for derivar algum termo que envolva P , pois P   depende de t , não é uma constante como k ou K , beleza? Então vamo lá:

d 2 P d t 2 = k d P d t   1 - P K + k P - 1 K d P d t

Mas podemos substituir o valor de d P d t da equação logística:

d 2 P d t 2 = k   . k P 1 - P K 1 - P K + k P   - 1 K k P 1 - P K

Agora é só ir ajeitando, colocando uns termos em evidência, pra ficar na forma fatorada bonitinho igual o exercício quer que a gente mostre:

d 2 P d t 2 = k 2 P   1 - P K 1 - P K - P K

d 2 P d t 2 = k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K

Passo 2

(b) Se queremos saber em que ponto uma população cresce mais rapidamente, então o que estamos buscando é o ponto onde ocorre o máximo da taxa de crescimento d P d t   .

Pra não carregar a notação e te confundir, vamos dizer que a taxa de crescimento é f a partir de agora, beleza? Então queremos saber onde ocorre o máximo global de f . Pra isso, lembra lá do Cálculo, a gente tem que primeiro achar quem são os pontos críticos, fazendo:

f ' = 0

Mas, voltando à notação original:

f ' = d P d t ' = d 2 P d t 2

Ou seja, já calculamos a tal f ' no item anterior, agora é só igualar a 0 !

k 2 P 1 - P K 1 - 2 P K = 0

Então os pontos críticos são:

P = 0 ,       P = K ,       P = K 2

Já sabemos que P = 0 e P = K representam soluções de equilíbrio, onde a taxa de crescimento é nula, e portanto não representam máximos dessa taxa.

Mas pra sermos rigorosos, ainda teríamos que acrescentar como possíveis pontos de máximo os extremos do domínio de P :

P = 0   (já analisamos esse caso)

P → ∞ (faz com que d P d t → - ∞ )

Então só nos resta concluir que quando P = K 2 , a taxa de crescimento da população é máxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine y=y(x) que satisfaça as condições dadasb) d y d x = y 2 - 4ey 1 = 2
Resolva a equação diferencial. y 2 + x y 2 y ' = 1
Resolva a equação diferencial. y + sen ⁡ y y ' = x + x 3
Resolva a equação diferencial. d y d t = t y e y + t 2
Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada. d y d x = x y ,y 0 = - 3