Enunciado

Considere a equação de Legendre (veja os problemas de 22 a 24 da Seção 5.3)

sujeita às condições de contorno

Os autovalores para esse problema são λ1 = 2, λ2 = 4 · 3, . . ., λn = 2n(2n – 1), . . . e as autofunções associadas são os polinômios de Legendre de grau ímpar.

Mostre que

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

- 1 - x 2 y ' = λ y

Para y 0 = 0

ϕ 1 x = x = P 1 x

ϕ 2 x = 5 x 3 - 3 x 2 = P 3 x

ϕ n x = P 2 n - 1 x

L ϕ n = λ n ϕ n

L ϕ m = λ m ϕ m

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ ϕ m L ϕ n - ϕ n L ϕ m d x = 0

λ m ≠ λ n

∫ ϕ n x ϕ m x d x = 0

Resposta

∫ ϕ n x ϕ m x d x = 0

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