Enunciado

Considere a equação de onda

a 2 u x x = u t t

em um meio unidimensional infinito, sujeita às condições iniciais

  1. Usando a forma da solução obtida no Problema 13, mostre que
  2. Use a primeira das equações no item (a) para mostrar que ψ ' ( x )   =   - ϕ ' ( x ) . Depois use a segunda equação para mostrar que – 2 a ϕ ' ( x )   =   g ( x ) e, portanto, que

em que x 0 é arbitrário. Finalmente, determine ψ ( x ) .

(c) Mostre que

Passo 1

O resultado da questão 13 nos informa que:

u x , t = ϕ x - a t + ψ ( x + a t )

Aplicando a condição de contorno u x , 0 = 0 nós teremos que:

ϕ x + ψ x = 0

E aplicando a segunda condição de contorno ( u t x , 0 = g ( x ) ) nós temos que:

Onde u t ( x , t ) será:

u t x , t = - a ϕ ' x - a t + a ψ ' x + a t

Então u t x , 0 = g ( x ) nos dará:

- a ϕ ' x - 0 + a ψ ' x + 0 = g ( x )

Logo:

- a ϕ ' x + a ψ ' x = g ( x )

Que é o que queremos demonstrar para a letra a

Passo 2

Para a letra b nós temos que a primeira equação vale:

ϕ x + ψ x = 0

Ou seja:

ψ x = - ϕ x

Derivando em x nós teremos:

ψ x ' = - ϕ x '

E pela segunda equação nós tiramos que:

- a ϕ ' x + a ψ ' x = g ( x )

O que pode ser escrito como:

a ψ ' x - ϕ ' x = g ( x )

Onde ψ x ' = - ϕ x '   , logo ψ ' x - ϕ ' x = - 2 ϕ ' ( x ) , logo:

- 2 a ϕ ' x = g ( x )

ϕ ' x = - 1 2 a g ( x )

Então o valor de ϕ ( x ) para um intervalo arbitrário de x será:

ϕ x = - 1 2 a ∫ x 0 x ( g ξ d ξ + ϕ ( x 0 ) )  

Onde ξ é só uma variável qualquer para que você não faça nenhuma besteira na hora de integral e ϕ ( x 0 ) é somente um termo constante que só na hora que derivamos em relação a x , por isso que é aplicado em x 0 pois não terá termos em x .

O valor de ψ ( x ) terá o sinal inverso de ϕ ( x ) e valerá:

ψ x = 1 2 a ∫ x 0 x ( g ξ d ξ + ϕ ( x 0 ) )  

Passo 3

Como:

u x , t = ϕ x - a t + ψ ( x + a t )

Então:

u x , t = - 1 2 a ∫ x 0 x - a t ( g ξ d ξ + ϕ ( x 0 ) ) + 1 2 a ∫ x 0 x + a t ( g ξ d ξ + ϕ ( x 0 ) )  

Pois os termos de integração seguem o ponto x aplicadas nas funções ϕ e ψ , logo podemos escrever essa integral como:

u x , t = 1 2 a ∫ x - a t x + a t g ξ d ξ

Resposta

a )     P a s s o   1

b )   P a s s o   2

c )   P a s s o   3

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