Enunciado

O movimento de uma membrana circular elástica, como a membrana de um tambor, é determinado pela equação de onda bidimensional em coordenadas polares

Supondo que u ( r ,   θ ,   t )   =   R r Θ ( θ ) T ( t ) , encontre as equações diferenciais ordinárias satisfeitas por R ( r ) ,   Θ ( θ )   e   T ( t ) .

Passo 1

Bem, vamos derivar a equação de u em r , θ e t

u = R Θ T

Substituindo isso na equação diferencial dada nós teremos:

R ' ' Θ T + 1 r R ' Θ T + 1 r 2 R Θ ' ' T = 1 a 2 R Θ T ' '

Escrevendo de outra forma:

Θ T R ' ' + 1 r R ' + 1 r 2 R Θ ' ' T = 1 a 2 R Θ T ' '

Dividindo tudo por R Θ T teremos:

R ' ' R + 1 r R ' R   + 1 r 2 Θ ' ' Θ = 1 a 2 T ' ' T

Passo 2

Aplicando as relações:

1 a 2 T ' ' T = - λ 2

Θ ' ' Θ = - μ 2

O intuito aqui é sumir com tudo que não for R e nem r

Note que o valor é μ e não u

Nós teremos:

R ' ' R + 1 r R ' R - 1 r 2 μ 2 = - λ 2

R ' ' R + 1 r R ' R - R r 2 μ 2 R   = - λ 2

R ' ' + 1 r R ' - R r 2 μ 2 = - R λ 2

R ' ' + 1 r R ' + λ 2 r 2 - μ 2 r 2 R = 0

O que nos dará:

r 2 R ' ' + r R ' + λ 2 r 2 - μ 2 R = 0

Além de:

Θ ' ' + μ 2 = 0

T ' ' + α 2 λ 2 T = 0

Resposta

r 2 R ' ' + r R ' + λ 2 r 2 - μ 2 R = 0

Θ ' ' + μ 2 = 0

T ' ' + α 2 λ 2 T = 0

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