Enunciado

Considere a função f x , y = x   g x 2 - y 2 , onde g u é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de a , a , f a , a passa pela origem.

Passo 1

Encontrando o plano tangente ao ponto a , a , f a , a

z - f a , a = f x a , a x - a + f y ( a , a ) ( y - a )

Calculando as derivadas em a , a

f x a , a = g a 2 - a 2 + a   g ' a 2 - a 2 2 a = g 0 + 2 a 2   g ' 0

f y a , a = a   g ' a 2 - a 2 - 2 a = - 2 a 2   g ' 0

E a função no ponto é dada por f a , a = a   g 0 . Substituindo os valores na equação do plano

z - a   g 0 = g 0 + 2 a 2   g ' 0 x - a - 2 a 2   g ' 0 ( y - a )

z - a   g 0 = g 0 + 2 a 2   g ' 0 x - 2 a 2   g ' 0 y - a   g 0 - 2 a 3 g ' 0 + 2 a 3 g ' ( 0 )

As partes constantes se cancelam e ficamos com

z = g 0 + 2 a 2   g ' 0 x - 2 a 2   g ' 0 y

Como a equação do plano do tipo a x + b y + c z = d tem a constante d = 0 , a equação do plano passa pela origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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