Enunciado

14. Seja f x , y = x 2 + y 2 ,   x , y ∈ R 2 . Calcule o comprimento do segmento da reta normal ao gráfico da f compreendida entre o ponto 3 , - 4,5 e o plano x y

Passo 1

Fizemos ao parecido com esse exercício nos itens anteriores. Podemos lembrar que vetor normal à superfície é conhecido como Vetor Gradiente. Esse vetor tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

No nosso caso temos a função

z = f x , y = x 2 + y 2  

Assim podemos dizer que nossa superfície é

g   : z - x 2 + y 2   = 0

É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é

∇ g = - 2 x 2 x 2 + y 2 ,   - 2 y 2 x 2 + y 2 , 1

∇ g = - x x 2 + y 2 ,   - y x 2 + y 2 , 1

Passo 2

Agora temos que esse vetor gradiente é meio genérico. Ele é um vetor normal a toda superfície, queremos fixar ele pra ser normal a um único ponto. Entao vamos plotar esse ponto no nosso vetor gradiente

P =   3 , - 4,5

∇ g = - x x 2 + y 2 ,   - y x 2 + y 2 , 1

Assim temos que

∇ g   P =   - 3 3 2 + 4 2 ,   4 3 2 + 4 2 , 1

∇ g   P =   - 3 5 ,   4 5 , 1

Passo 3

Então podemos dizer que nossa reta será

r t = - 3 5 ,   4 5 , 1 t + P  

Ou podemos escrever como

r t = 3 - 3 5 t , - 4 + 4 5 t , 5 + t

Para descobrirmos o comprimento entre o ponto P e o plano através dessa reta, vamos ter que fazer um integral de Linha.

∫ P 0 P 1 d r →

Podemos escrever essa integral de outra forma

∫ t 0 t 1 r ' t d t

Onde nosso

r ' t = ∇ g   P =   - 3 5 ,   4 5 , 1

Agora so falta achar os limites de integração, sabemos que saimos de P ,entao

t o = P

Logo so precisamos escontrar o instante t onde nossa reta passa por P. Sabendo que

r t = 3 - 3 5 t , - 4 + 4 5 t , 5 + t

E

P =   3 , - 4,5

Podemos afirmar que

t 0 = 0

Otimo. Conseguimos um limite, agora so precisamos do outro. Nossa reta vai de P ate o plano XY. Outro jeito de pensar isso é dizer que vamos ao plano z = 0 . Assim temos que a compenente z da nossa reta seja igual a zero

5 + t = 0

t =   - 5

Logo nossos limites são

t 0 = 0

t 1 =   - 5  

Vamos integrar agora

∫ 0 - 5 - 3 5 ,   4 5 , 1 d t

∫ 0 - 5 3 5 2 + 4 5 2 + 1 ²   d t

∫ 0 - 5 3 5 2 + 4 5 2 + 1 ²   d t

∫ 0 - 5 2 d t

- 5 2

Como queremos valores absolutos e não apenas uma distância a partir de um referencial, podemos pegar o valor positivo dessa integração. Logo o comprimento do segmento de reta é

5 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

comprimento do segmento da reta normal ao gráfico

5 2

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