Enunciado

15. Seja S a superfície de equação

z = 2 - x 2 - x y + y ² 4

  1. Determine o ponto P 0 ∈ S no qual o plano tangente à S é perpendicular à reta L de equação σ t = 1 - t ,   - 3 t , 2 t + 1   ,   t ∈ R

Passo 1

Esse exercício é parecido com os anteriores. Vimos nos últimos exercícios que a reta que é perpendicular ao plano, é uma reta paralela à normal. E que a reta normal ao plano tangente também é normal à superfície. E também que esse vetor tem um nome especial – vetor gradiente , que tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

No nosso caso nossa superfície é

g :     z - 2 - x 2 - x y + y 2 4 = 0

Ou melhor

g :     4 z - 2 + x 2 + x y - y 2 = 0

É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é

∇ g = 2 x + y ,   x - 2 y , 4

Passo 2

Então sabemos que

∇ g   /   /   σ t  

Pensando em σ t   podemos fazer uma manipulação

σ t = 1 - t ,   - 3 t , 2 t + 1

σ t = - 1 , - 3,2 t + 1,0 , 1

Logo o que nos interessa de fato é fazer um paralelo entre os dois vetores

2 x + y ,   x - 2 y , 4 /   /   - 1 , - 3,2  

Vamos acrescentar um fator no vetor de σ para que as componentes z dos dois vetores sejam iguais

2 x + y ,   x - 2 y , 4 /   /   2 - 1 , - 3,2  

2 x + y ,   x - 2 y , 4 /   /   - 2 , - 6,4  

Dessa forma podemos fazer um sistema

2 x + y =   - 2  

x - 2 y =   - 6

4 = 4

Vamos isolar o x da segunda equação

x = 2 y - 6

Agora vamos substituir na primeira equação

2   2 y - 6 + y =   - 2

4 y - 12 + y =   - 2

+ 5 y = 10

y =   2

Com isso podemos descobrir x

x =   2 2 - 6

x = - 2

Passo 3

Agora basta descobrirmos z, para isso podemos usar a equação da superfície que o enunciado nos da

z = 2 - x 2 - x y + y ² 4

z = 2 - - 2 2 - ( - 2 ) 2 + 2 ² 4

z = 6 4  

z = 3 2

Com isso nosso ponto é

P = - 2   ,   2   , 3 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

P = - 2   ,   2   , 3 2

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