Enunciado

Considere a função f x , y = x   ϕ x y onde ϕ u é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

Passo 1

A equação do plano tangente é dada por

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto genérico onde o plano tangencia a função.

Calculando as derivadas, usando a regra da cadeia na função ϕ , primeiro em x

f x = ϕ x y + x   ϕ ' x y ∂ ∂ x x y

f x = ϕ x y + x y   ϕ ' x y  

Agora em y

f y = x   ϕ ' x y ∂ ∂ y x y

f y = - x 2 y 2 ϕ ' x y

No ponto ( x 0 , y 0 )

f x x 0 , y 0 = ϕ x 0 y 0 + x 0 y 0   ϕ ' x 0 y 0

f y x 0 , y 0 = - x 0 2 y 0 2 ϕ ' x 0 y 0

f x 0 , y 0 = x 0   ϕ x 0 y 0

Passo 2

Jogando os valores encontrados na equação do plano

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

z - x 0   ϕ x 0 y 0 = ϕ x 0 y 0 + x 0 y 0   ϕ ' x 0 y 0 x - x 0 - x 0 2 y 0 2 ϕ ' x 0 y 0 ( y - y 0 )

Fazendo as distributivas

z - x 0   ϕ x 0 y 0 = ϕ x 0 y 0 + x 0 y 0   ϕ ' x 0 y 0 x - x 0   ϕ x 0 y 0 - x 0 2 y 0   ϕ ' x 0 y 0 - x 0 2 y 0 2 ϕ ' x 0 y 0 y + x 0 2 y 0 ϕ ' x 0 y 0

Podemos perceber que os termos constantes se cancelam

z = ϕ x 0 y 0 + x 0 y 0   ϕ ' x 0 y 0 x - x 0 2 y 0 2 ϕ ' x 0 y 0 y

Como a equação do plano do tipo a x + b y + c z = d tem a constante d = 0 , a equação do plano passa pela origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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