Enunciado

10. Encontre o ponto onde o plano tangente a cada uma das superfícies, de equação abaixo , é horizontal

a.

z = 2 x 2 + 2 x y - y 2 - 5 x + 3 y - 2  

Passo 1

Podemos pensar da seguinte maneira teremos um plano tangente horizontal quando as derivadas parciais da nossa função se anularem. É a mesma ideia de calculo 1. A reta da derivada ficava na horizontal no ponto onde a derivada se anulava, agora que passamos do ponto para o espaço a nossa equação gera um superfície e podemos ter um plano tangente para cada ponto dessa superfície, o plano fica na horizontal dependendo unicamente do valor das derivadas parciais. Beleza? Bora cair dentro

Nossa função é

z = 2 x 2 + 2 x y - y 2 - 5 x + 3 y - 2  

Onde as derivadas parciais são

d z d x = 4 x + 2 y - 5

d z d y = 2 x - 2 y + 3

Agora precisamos achar os pontos onde as derivadas se anulam

4 x + 2 y - 5 = 0

2 x - 2 y + 3 = 0

Podemos pegar a primeira equação, isolar uma variável e substituir na equação debaixo

4 x + 2 y - 5 = 0

- 2 y = 4 x - 5

Agora substituindo

2 x - 2 y + 3 = 0

2 x + 4 x - 5 + 3 = 0

6 x = 2

x = 1 3

Com isso podemos dizer que y é

2 x - 2 y + 3 = 0

2 3 - 2 y + 3 = 0

y = 2 3 + 3 2

y = 11 6

Passo 2

Agora só precisamos descobrir o valor de z, para isso podemos usar nossa equação do enunciado

z = 2 x 2 + 2 x y - y 2 - 5 x + 3 y - 2  

z = 2 1 3 2 + 2 ⋅ 1 3 ⋅ 11 6 - 11 6 2 - 5 ⋅ 1 3 + 3 ⋅ 11 6 - 2  

z =   - 1 12

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

P = 1 3 , 11 6 ,   - 1 12

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