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Considere uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou de amortecimento.

  1. No caso de amortecimento crítico, o movimento é dado por x = c 1 e r t + c 2 t e r t . Mostre que o gráfico de x cruza o eixo t sempre que c 1 e c 2 tiverem sinais opostos.
  2. No caso de superamortecimento, o movimento é dado por x = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t , onde r 1 > r 2 . Determine a condição sobre os módulos relativos de c 1 e c 2 sob o qual o gráfico de x cruza o eixo t para um valor positivo de t .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Uma massa presa a uma mola sujeita a uma força de atrito ou amortecimento pode ser descrita na forma de uma equação diferencial do tipo:

d 2 x d t 2 + c m d x d t + k m   x = 0

A equação característica associada a essa equação diferencial é:

λ 2 + c m   λ + k m = 0

A solução para esse tipo de equação é pela fórmula de bháskara.

E podemos encontrar três casos como resposta: movimento superamortecido ( Δ > 0 ) , amortecimento crítico ( Δ = 0 ) e subamortecido ( Δ < 0 ) .

Passo 2

Para um movimento de amortecimento crítico, temos que Δ = 0 , e temos como solução duas raízes reais e iguais.

A solução, como o enunciado disse é:

x t = c 1 e - c 2 m t + c 2 t e - c 2 m t

O gráfico de x cruza o eixo de t quando x t = 0

Então, fazendo o lado esquerdo da solução igual a zero temos:

0 = c 1 e - c 2 m t + c 2 t e - c 2 m t

Isolando t temos:

t = - c 1 c 2

Temos quatro opções de sinais aqui:

  • 1 ª   o p ç ã o : c 1 positivo e c 2 negativo:
  • t = - + - = ( + )

  • 2 ª   o p ç ã o : c 1 negativo e c 2 positivo:
  • t = - - + = ( + )

  • 3 ª   o p ç ã o : c 1 e c 2 positivos:
  • t = - + + = ( - )

  • 4 ª   o p ç ã o : c 1 e c 2 negativo:

t = - - - = ( - )

Mas saca só: o tempo pode ser negativo? Não faz sentido né! Então as únicas duas opções válidas são a 1   e   2 opções! Sendo assim, c 1 e c 2 devem ter sinais opostos!

Passo 3

Pra o movimento de superamortecimento temos Δ > 0 , então encontramos duas soluções reais e distintas para a equação característica. A solução para esse movimento é:

x t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Com r 1 > r 2 . Novamente, o gráfico de x cruza o eixo t quando x t = 0 . Assim vamos ter:

0 = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Vamos deixar em termos dos coeficientes para visualizar melhor:

e r 1 t e r 2 t = - c 2 c 1

Vamos agora juntar os expoentes do lado direito em uma potencia só:

e ( r 1 - r 2 ) t = - c 2 c 1

O lado direito é um valor sempre positivo e maior do que 1 . Então os sinais das constantes c 1 e c 2 devem, obrigatoriamente, serem opostas para ter validade essa solução.

Mais uma coisa, a razão do lado direito deve ser maior do que 1 . Sendo assim, em módulo:

c 2 c 1 > 1

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

a t = - c 1 c 2 ,   l o g o   c 1 e   c 2   t e m   s i n a i s   o p o s t o s .

b e ( r 1 - r 2 ) t = - c 2 c 1 ,   e n t ã o   c 2 c 1 > 1

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