Enunciado

Considere o polinômio do 2 º grau a x 2 + b x + c e suponha Δ < 0 . Utilizando o item ( a ) do Exercício 8 , prove:

  1. Se a > 0 , então a x 2 + b x + c > 0 para todo x .
  2. Se a < 0 , então a x 2 + b x + c < 0 para todo x

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que na equação do segundo grau a 2 + b x + c , quando a é positiva, a equação é positiva (maior do que zero) e que quando a é negativa, a equação é negativa (menor do que zero). Pra fazer isso, vamos usar a relação vista no o item ( a ) do exercício 8 :

a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2

Como essa igualdade já foi verificada lá no exercício 8 , podemos utilizá-la!

Além disso, o enunciado pediu pra gente supor que Δ é negativo ( Δ < 0 ). Então, com base nisso e na relação dada pelo exercício 8 , nós vamos analisar o sinal da expressão e verificar o que acontece quando a > 0 e a < 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando os termos dentro do colchete. Repare que como Δ é negativo (menor do que zero), aquele sinal do lado de fora do termo Δ 4 a 2 , vai fazer com que esse quociente seja positivo.

- - Δ 4 a 2 = Δ 4 a 2

Beleza, e o primeiro termo dentro do colchete? Repare que ele está elevado ao quadrado, então ele vai ter sempre um resultado positivo. Sacou? Isso acontece porque qualquer valor real elevado ao quadrado é positivo, então concluímos também que o termo x + b 2 a 2 também é positivo.

Além disso, a soma de dois números positivos �� também um número positivo, então tudo que tá dentro do colchete vai ser sempre positivo:

x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 > 0

Isso significa que o sinal de toda a expressão vai ser determinado pelo sinal de a . Porque se a for positivo, teremos um número positivo multiplicado por outro número positivo e o resultado é um número positivo. E se a for negativo, temos um número negativo multiplicado por um número positivo, o que nos dá um número negativo como resultado.

Assim, se a > 0 , temos:

a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 > 0

E como a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 , concluímos que:

a x 2 + b x + c > 0

Da mesma forma, se a < 0 , temos:

a x + b 2 a 2 - Δ 4 a 2 < 0

E consequentemente:

a x 2 + b x + c < 0

Como a gente queria provar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   a x 2 + b x + c > 0

b )   a x 2 + b x + c < 0

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Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. 2 x - 1 x + 30
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Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. x 2 - 3 x + 20