Enunciado

Considere uma população P = P ( t ) com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes α e β , respectivamente, e uma taxa de emigração constante m , onde α , β e m são constantes positivas. Assuma que α > β . Então a taxa de variação da população em um tempo t é modelada pela equação diferencial

d P d t = k P - m ,             o n d e   k = α - β

a) Encontre a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial P 0 = P 0 .

b) Qual condição sobre m levará a uma expansão exponencial da população?

c) Qual condição sobre m levará a uma população constante? E ao declínio da população?

d) Em 1847, a população da Irlanda era cerca de 8 milhões, e a diferença entre as taxas relativas de natalidade e mortalidade era 1,6 % da população. Por causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850, cerca de 210000 habitantes por ano emigraram da Irlanda. A população estava crescendo ou diminuindo naquela época?

Passo 1

Esse é um exercício bem legal que sofistica um pouco o modelo de crescimento população adicionando uma taxa de emigração m . No item (a) devemos achar a solução da equação diferencial e nos demais itens fazer algumas discussões sobre o comportamento da função em alguns regimes...

Para resolver a equação diferencial, o primeiro passo é reescrever a equação:

d P d t = k   P - m k

Fazemos agora uma mudança de variável:

x = P - m k ⇒ d x d t = d P d t

Assim, a equação fica

d x d t = k x

Note que essa é a tradicional equação de crescimento exponencial que nós já conhecemos:

x = A   e k t

Portanto,

P - m k = A e k t

Agora usamos a condição inicial P 0 = P 0 :

P 0 - m k = A e 0 = A

Logo,

P - m k = P 0 - m k e k t

Portanto,

P t = m k + P 0 - m k   e k t

Passo 2

Para analisar os regimes de crescimento e decrescimento de P , voltemos para a equação diferencial:

d P d t = k P - m

Para que haja um crescimento, devemos ter

d P d t > 0 ⇒ k P - m > 0 ⇒ m < k P

Analogamente, para haver um decrescimento:

d P d t < 0 ⇒ m > k P

Por fim, para que a população se mantenha constante em equilíbrio, deve ocorrer:

d P d t = 0 ⇒ m = k P

Passo 3

No item (d), temos que k = 0,016 , P = 8000000 e m = 210000 :

d P d t = 0,016 ⋅ 8000000 - 210000 = - 82000

Como d P d t < 0 , a população estava diminuindo naquela época.

Resposta

P t = m k + P 0 - m k   e k t

m < k P ⇒ c r e s c i m e n t o m > k P ⇒ d e c r e s c i m e n t o m = k P ⇒ c o n s t a n t e

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