Enunciado

Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV). Dê razões para sua resposta.

y ' = y - 1

Passo 1

Show de bolinhas então galera bonita, a gente tá afim de encontrar o campo de direções da equação y ' = y - 1 , e esse tal campo de direções é aquele campo cheio de “risquinhos” ali, onde cada risquinho representa a direção, ou melhor, a inclinação da nossa equação. E como a gente é malandro sabemos que a derivada de uma função fornece também pra gente a incliniação, ou seja, na equação y ' = y - 1 , o termo “ y ' ” que representa a derivada de y , fornece pra gente a inclinação de y , y ' = tan ⁡ θ . Podemos observar que essa inclinação depende somente dos valores de y , sendo então independente de x . Isso quer dizer que substituindo os valores de y na equação vamos obter as inclinações dos risquinhos ao longo das retas. Então bora lá

Passo 2

Vamos então substituir os valores de y na nossa equação que estão dentro da nossa escala, e verificar a inclinação do risquinho. Para y = 0 , temos que

y ' = 0 - 1 = - 1

tan ⁡ θ = - 1

θ = - 45 °

Logo, ao longo da reta y = 0 , a inclinação dos risquinho será de - 45 ° , desse jeito

Agora para y = 1 , temos que

y ' = 1 - 1 = 0

tan ⁡ θ = 0 ⇒ θ = 0

Isso quer dizer que a inclinação dos risquinhos ao longo da reta y = 1 , será igual a 0 , ou seja, os risquinhos estarão na horizontal dessa forma

Da mesma maneira, agora para y = 2 , temos que

y ' = 2 - 1 = 1

tan ⁡ θ = 1 ⇒ θ = 45 °

Logo a inclinação ao longo da reta y = 2 é de 45° e os risquinhos estarão dispostos de tal maneira

Passo 3

Agora que a gente tem um esboço de como tá ficando o campo de direções, a gente pode comparar com as repostas, nosso campo é esse

E as alternativas são essas aqui

E observando bem de pertinho a gente pode ver que o campo IV é o único que se encaixa no campo que a gente encontrou. Agora ficou bonito

Resposta

IV

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o campo de direções I para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV). Dê razões para sua resposta. y ' = y 2 - x 2
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I-IV). Dê razões para sua resposta. y ' = y 3 - x 3
Use o campo de direções III para esboçoar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas.a) y 0 = 1 b) y 0 = 0 c) y 0 = - 1
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s). x = s e nt ,y = s e n( t + s e nt ) , 0 ,0