Enunciado

Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para plotar vários membros da família de soluções.

x y ' + y = x cos ⁡ x ,         x > 0

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

x y ' + y = x cos ⁡ x

Dividindo por x :

y ' + 1 x   y = cos ⁡ x

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y ' + P x   y = Q x ,

com

P x = 1 x                     e                 Q x = cos ⁡ x

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e ∫ P x   d x

Calculando a integral:

∫ P x   d x = ∫ 1 x   d x = ln ⁡ x

Assim,

I = e ln ⁡ x = x

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

x y ' + y = x cos ⁡ x

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

x y ' + y = x y '

Logo,

d d x x y = x cos ⁡ x

Integrando, obtemos

x y = ∫ x cos ⁡ x   d x

Para calcularmos essa integral usaremos integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Escolhendo u = x e d v = cos ⁡ x   d x , temos

d u = d x             e           v = s e n   x

Assim,

∫ x cos ⁡ x   d x = x   s e n   x - ∫ s e n   x   d x = x   s e n   x + cos ⁡ x + C

Logo,

x y = x   s e n   x + cos ⁡ x + C

Portanto, a solução geral é

y = s e n   x + cos ⁡ x x + C x

Passo 3

A seguir plotamos várias soluções para diferentes valores de C :

Resposta

y = s e n   x + cos ⁡ x x + C x

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